Примеры решения задач метод сил строительная механика: Задачи на метод сил | ПроСопромат.ру

Содержание

Задачи на метод сил | ПроСопромат.ру

Рассчитать статически неопределимую раму методом сил. Для рамы построить эпюры Mок,Q, N со всеми проверками.

Дано: l=h=2 м, q=10 кН/м, F=20 кН, I1/I2

Зададимся соотношением моментов инерции. Пусть первый I1=I  , тогда  второй I2=2 I

2014-12-13 19-40-02 Скриншот экрана

1) определим степень статической неопределимости системы:

 λ=Соп-3=5-3=2

где Соп – число опорных реакций

3 – число  уравнений статики 

то есть, система дважды статически неопределима. т.е. для ее решения требуются два дополнительных уравнения. Это будут канонические уравнения метода сил.

Тогда система канонических уравнений будет:     

δ11Х1+ δ12Х2+ Δ1F=0,

δ21Х1+ δ22Х2+ Δ2F=0.

 2) построим основную систему, отбросив некоторое число опор, суммарное количество реакций которых должно соответствовать значению статической неопределимости (т.е. в нашем случае – 2 реакции). Отбросим опоры В и С. Действие опор заменим двумя неизвестными силами —  X1    ,   X2.

2014-12-13 19-47-36 Скриншот экрана

2) загружаем основную систему заданной нагрузкой, определяем реакции опор и строим эпюру изгибающих моментов — грузовую эпюру.

2014-12-13 19-56-16 Скриншот экрана

2014-12-13 19-56-59 Скриншот экрана

Построим грузовую эпюру моментов  (все значения откладываются на сжатых волокнах):

2014-12-13 19-59-23 Скриншот экрана

Посчитаем так же момент в середине действия распределённой нагрузки

2014-12-13 20-00-12 Скриншот экрана

2014-12-13 20-01-07 Скриншот экрана

3) По направлению предполагаемых реакций отброшенных опор к основной системе поочерёдно прикладываем единичные силы х1=1 и  х2=1, строим единичные эпюры Ми М2  

Построим эпюру M1   от действия x1=1.

2014-12-13 20-05-14 Скриншот экрана

Сначала определим опорные реакции

 ∑X=0   -x1 + HD = 0       HD=1

∑MD:  RA2-x14=0      RA=2

∑MА:  RД2- HD4=0     RD=2

Проверка  ∑Y=0    RA— RD= 0     верно

Теперь определим моменты в характерных точках

MA=MD=0 

MFлев=RA2=22=4 (сжатые волокна сверху).  Строим эпюру M1

Построим эпюру M2   от действия x2=1.

2014-12-13 20-08-26 Скриншот экрана

Сначала определим опорные реакции

 ∑X=0   -x2 + HD = 0       HD=1

∑MD:  RA2-x22=0      RA=1

∑MА:  RД2- HD4+x22=0     RD=1

Проверка  ∑Y=0    RA— RD= 0     верно

Моменты в характерных точках

MA=MD=0 

MFлев=RA2=12=2 (сжатые волокна сверху)

4) определяем коэффициенты канонических уравнений перемножением эпюр по формуле Симпсона. Следует помнить о соотношении жесткостей стержней.2014-12-13 21-42-11 Скриншот экрана

Знак минус перед слагаемыми в грузовых коэффициентах ставим потому, что эпюры на грузовой и единичной эпюрах расположены по разные стороны стержней.

5) подставляем значения перемещений в канонические уравнения, сокращаем на EI, находим значения x1 и x2 :

26,7X1 +17,33X2  -513, 33=0

17,33X1 +12X2  -333 ,32 =0

Поделим первое и второе уравнения на сомножители при X2  (первое делим на 17,33, второе на 12). Получим:

1,54X1 +X2  -29,62 =0

1,44X1 +X2  -27,28 =0

Вычтем из первого уравнения второе. Тогда получим:

X1 =23,4

X2  = -6,4

6) Умножаем единичные эпюры на найденные значения X1 ,  X2. 

Получим эпюры M1xи M2x2

2014-12-13 22-45-53 Скриншот экрана

При построении эпюры M2x2  следует обратить внимание на то, что значение x2  — отрицательное.

7) строим окончательную эпюру моментов, складывая эпюры:  

Мок = M1x1+M2x2+MF

2014-12-13 22-53-45 Скриншот экрана

MFл= 93,6 — 12,8 -100 = — 19,2  кНм  (сжатые волокна внизу)                      

MFпр= -40 кНм   (сжатые волокна внизу)

MFниз= 93,6 -12,80 – 60 = 20, 8 кНм       (сжатые волокна справа)     

ME= 46,8 – 12,8 – 40 = -6 кНм  (сжатые волокна слева)  

Посчитаем так же момент в середине действия распределённой нагрузки

Mср= 70,2 – 12,8 – 55 = 2,4 кНм (сжатые волокна справа)

8) Произведем проверки окончательной эпюры М

Статическая проверка (методом вырезания узлов рамы — они должны находиться в равновесии):

2014-12-14 00-27-23 Скриншот экранаверно 

Деформационная проверка: заключается в определении перемещений по направлению отброшенных связей. Эти перемещения должны быть равны нулю. Ошибка может составлять не более 5%.

2014-12-14 00-31-06 Скриншот экрана

Эпюра Ms = M1 + M2     Это суммарная единичная эпюра: к основной системе  прикладываем одновременно Х1=1 и  Х2=1.

 

2014-12-14 00-45-18 Скриншот экрана

Сначала проверим коэффициенты канонических уравнений.

1  проверка.

Первая проверка заключается в равенстве: Ms ∙ Ms = ∑δij

Произведение суммарной эпюры саму на себя должно равняться сумме единичных коэффициентов.

2014-12-14 01-00-12 Скриншот экранаверно

Вторая проверка заключается в равенстве: Ms ∙ MF = ∑ΔiF

Произведение суммарной эпюры на грузовую эпюру должно равняться сумме грузовых коэффициентов.

2014-12-14 01-12-06 Скриншот экрана

Все проверки выполняются, значит, коэффициенты определены верно.

И наконец, третья, деформационная проверка.2014-12-14 00-31-06 Скриншот экрана

2014-12-14 01-30-13 Скриншот экрана

Ошибка составляет: 2014-12-14 01-31-03 Скриншот экрана, что допустимо.

9) построим эпюру поперечной силы Q по Мок:

2014-12-13 23-29-14 Скриншот экрана

где Мпр и Млев – моменты с эпюры Мок, соответственно с правой и с левой стороны участка. Моменты берутся со своими знаками, l— длина участка, q — распределенная нагрузка на участке. Если нагрузки на участке нет, и эпюра моментов представляет собой прямую линию, то в формуле полагаем q=0.

 QAF=(-19,2 — 0)/2= -9,6 кН

QFB=(0 – (-40))/2=20 кН

QDE=(0 — (-6))/2=3 кН

На участке EF приложена распределённая нагрузка. Рассмотрим этот участок отдельно.2014-12-13 23-47-34 Скриншот экрана

Мправ  =   -20,8  , Млев  =   6

Значение поперечной силы в точке E:

2014-12-14 12-34-30 Скриншот экрана

Значение в точке F найдём:

2014-12-14 00-21-23 Скриншот экрана

Строим эпюру Q

2014-12-14 13-40-09 Скриншот экрана

10) Построение эпюры N по Q методом вырезания узлов

Вырезаем узел, к узлу прикладываем известные поперечные силы с эпюры Q с соответствующим знаком  (+ по часовой стрелке), неизвестные продольные силы,   и рассматриваем равновесие данного узла.  Знаки у продольных сил —  от узла — растяжение.

Рассмотрим узел Е

2014-12-14 13-17-56 Скриншот экрана

∑х = 0,    — 3 -3,4 + N = 0      N = 6,4 (растяжение)  

Рассмотрим узел F

2014-12-14 14-29-25 Скриншот экрана

∑х = 0,    — N1 + 23,4 = 0

              N1 = 23,4 кН  (сжатие –к узлу)

 

     ∑у = 0 ,  N2 – 9,6  – 20= 0

              N2 = 29,6 кН (сжатие –к узлу)

Строим эпюру N

2014-12-14 13-34-21 Скриншот экрана

11) Общая статическая проверка: зарисовывается исходная рама, в опорах показываются все реакции (их числовые значения необходимо брать с построенных эпюр M, Q, N с учетом знаков),  и проверяется равновесие рамы в целом

2014-12-14 14-21-58 Скриншот экрана

 

2014-12-14 14-59-33 Скриншот экрана

 Все проверки выполняются.

   

Метод сил в сопромате

 

 

Заказать решение           Способ оплаты

 

При решении задач сопромата, статически неопределимой называется такая система, которая не может быть рассчитана при помощи одних только уравнений статики, так как имеет лишние связи. Для расчета таких систем составляются дополнительные уравнения, учитывающие деформации системы.

Оговоримся, что здесь и далее понятие “расчет” подразумевает только построение эпюр внутренних силовых факторов, возникающих в элементах системы, а не расчет на прочность, жесткость и т.д.

Статически неопределимые системы обладают рядом характерных особенностей:

1. Статически неопределимые конструкции являются более жесткими, чем соответствующие статически определимые, так как имеют дополнительные связи.
2. В статически неопределимых системах возникают меньшие внутренние усилия, что определяет их экономичность по сравнению со статически определимыми системами при одинаковых внешних нагрузках.
3. Нарушение лишних связей в статически неопределимой системе не всегда приводит к разрушению, в то время как потеря связи в статически определимой системе делает ее геометрически изменяемой.
4. Для расчета статически неопределимых систем необходимо предварительно задаваться геометрическими характеристиками поперечных сечений элементов, т.е. фактически их формой и размерами, так как их изменение приводит к изменению усилий в связях и новому распределению усилий во всех элементах системы.
5. При расчете статически неопределимых систем необходимо заранее выбрать материал конструкции, так как необходимо знать его модули упругости.
6. В статически неопределимых системах температурное воздействие, осадка опор, неточности изготовления и монтажа вызывают появление дополнительных усилий.

Основными методами расчетастатически неопределимых систем являются:

 

1. Метод сил. Здесь в качестве неизвестных рассматриваются усилия – силы и моменты.
2.Метод перемещений. Неизвестными являются деформационные факторы – углы поворотов и линейные смещения.
3.Смешанный метод. Здесь часть неизвестных представляет собой усилия, а другая часть – перемещения.
4. Комбинированный метод. Используется при расчете симметричных систем на несимметричные нагрузки. Оказывается, что на симметричную составляющую заданной нагрузки систему целесообразно рассчитывать методом перемещений, а на обратносимметричную составляющую – методом сил.
Помимо указанных аналитичеких методов при расчете особо сложных систем используются различные численные методы.

 

Канонические уравнения метода сил

 

Для получения дополнительных уравнений, о которых говорилось в предыдущем параграфе, нужно прежде всего превратить заданную, n раз статически неопределимую систему, в статически определимую, удалив из нее лишние связи. Полученная статически определимая система называется основной. Отметим, что преобразование заданной системы в статически определимую не является обязательным. Иногда используется модификация метода сил, в которой основная система может быть статически неопределимой, однако изложение этого вопроса выходит за рамки этого пособия. Устранение каких-либо связей не изменяет внутренние усилия и деформации системы, если к ней приложить дополнительные силы и моменты, представляющие собой реакции отброшенных связей. Значит, если к основной системе приложить заданную нагрузку и реакции удаленных связей, то основная и заданная системы станут эквивалентными.

В заданной системе по направлениям имеющихся жестких связей, в том числе и тех связей, которые отброшены при переходе к основной системе, перемещений быть не может, поэтому и в основной системе перемещения по направлениям отброшенных связей должны равняться нулю. А для этого реакции отброшенных связей должны иметь строго определенные значения.

Условие равенства нулю перемещения по направлению любой i-ой связи из n отброшенных на основании принципа независимости действия сил имеет вид:

 

 

где первый индекс означает направление перемещения и номер отброшенной связи, а второй указывает на причину, вызвавшую перемещение, т.е. — это перемещение по направлению i-ой связи, вызванное реакцией k-ой связи; — перемещение по направлению i-ой связи, вызванное одновременным действием всей внешней нагрузки.

В методе сил реакцию k-ой связи принято обозначать через Xk. С учетом этого обозначения и в силу справедливости закона Гука перемещения можно представить в виде:

 

 

где — единичное (или удельное) перемещение по направлению i-ой связи, вызванное реакцией т.е. реакцией, совпадающей по направлению с Xk, но равной единице.

Подставляя (2) в (1), получим:

 

 

Физический смысл уравнения (3): перемещение в основной системе по направлению i-ой отброшенной связи равно нулю.

Записывая выражения, аналогичные (3), для всей совокупности отброшенных связей, получим систему канонических уравнений метода сил:

 

 

Вид уравнения (4), т.е. количество слагаемых в каждом из них и их общее число, определяется только степенью статической неопределимости системы и не зависит от ее конкретных особенностей.

 

Коэффициенты системы канонических уравнений (4) определяются методом Мора-Верещагина путем перемножения соответствующих эпюр. Все эти коэффициенты, как указывалось выше, представляют собой перемещения; коэффициенты, стоящие при неизвестных – единичные перемещения, а свободные члены – грузовые. Единичные перемещения делятся на главные, расположенные по главной диагонали и имеющие одинаковые индексы и побочные (). Главные перемещения всегда положительные, в отличие от побочных. Симметрично расположенные перемещения в соответствии с теоремой о взаимности перемещений равны друг другу, т.е. .

 

Алгоритм расчета методом сил

 

Независимо от особенностей рассматриваемой конструкции, можно выделить следующую последовательность расчета статически неопределимых систем методом сил:

1. Определить степень статической неопределимости.
2. Выбрать основную систему.
3. Сформировать эквивалентную систему.
4. Записать систему канонических уравнений.
5. Построить единичные и грузовые эпюры внутренних силовых факторов, возникающих в элементах рассматриваемой конструкции.
6. Вычислить коэффициенты при неизвестных и свободные члены системы канонических уравнений.
7. Построить суммарную единичную эпюру.
8. Выполнить универсальную проверку коэффициентов при неизвестных и свободных членов.
9. Решить систему (4), т.е. определить реакции лишних связей.
10. Построить эпюры возникающих внутренних силовых факторов для заданной системы (иначе говоря, окончательные эпюры).
11. Выполнить статическую и кинематическую проверки.
Отметим, что пункты 7, 8, 11 приведенного алгоритма не являются безусловно необходимыми, хотя и позволяют контролировать правильность выполнения расчета. А для систем с одной лишней связью пункты 7 и 8 просто лишены смысла, так как в этом случае суммарная единичная эпюра совпадает с единичной.
Остановимся подробнее на некоторых из вышеперечисленных этапов расчета.

 

Выбор основной системы

 

Это важнейший этап расчета, так как рациональный выбор основной системы существенно упрощает вычислительную работу. Рассмотрим возможные способы удаления лишних связей, что и определяет вид основной системы.

1. Отбрасывание лишних связей осуществляется полным удалением некоторых опор или их заменой опорами с меньшим числом связей. Реакции, действующие в направлениях отброшенных связей, являются лишними неизвестными. На рис.1,б, в, г показаны различные варианты эквивалентной системы, полученные этим способом для рамы (рис.1,а).

2.Постановка шарниров в промежуточных сечениях стержней позволяет в каждом таком сечении установить связь, соответствующую изгибающему моменту. Эти моменты являются лишними неизвестными. Для рамы, имеющей степень статической неопределимости n=3 (рис.2,а), при выборе основной системы необходимо поставить три шарнира. Положение этих шарниров может быть произвольным, но удовлетворяющим требованию геометрической неизменяемости системы (рис.2,б).

3. Рассечение стержня устраняет три связи, соответствующие внутренним усилиям M, Q, N (рис.2,в). В частных случаях (рис.2,г) рассечение стержня по шарниру освобождает две связи (рис.2,д), а рассечение прямолинейного стержня с шарнирами по концам – одну связь (рис.2,е).

 

рис. 1

 

Среди связей статически неопределимой системы различают абсолютно необходимые и условно необходимые. К абсолютно необходимым относятся связи, при удалении которых система становится геометрически изменяемой. Для абсолютно необходимой связи характерна статическая определимость усилия в ней, т.е. реакция такой связи может быть вычислена из условия равновесия. При выборе основной системы абсолютно необходимые связи отбрасывать нельзя.

 

 

рис. 2

 

Связи, при удалении которых система продолжает оставаться геометрически неизменяемой, называются условно необходимыми. Система, у которой удалили такую связь, может являться основной системой метода сил.

 

Вычисление коэффициентов и свободных членов канонических уравнений

 

Этому этапу расчета предшествует построение единичных и грузовых эпюр внутренних силовых факторов (для балок и рам – эпюр изгибающих моментов). Единичные эпюры строятся от действия безразмерной единичной силы или безразмерного единичного момента, совпадающих по направлению с направлением соответствующей лишней неизвестной в эквивалентной системе, и обозначаются через , а единичная эпюра – через .

 

Грузовая эпюра строится от внешней нагрузки, приложенной к основной системе. При этом можно строить одну эпюру от одновременного действия всех внешних нагрузок или несколько эпюр, отдельно от каждой из приложенных нагрузок. Такое разбиение одной грузовой эпюры на несколько  более простых, как правило, целесообразно только тогда, когда среди действующих нагрузок есть равномерно распределенная, и эпюра моментов на соответствующем участке под ней является знакопеременной. При этом в каждом каноническом уравнении число свободных членов будет равно числу построенных грузовых эпюр.

Единичные и грузовые перемещения (коэффициенты и свободные члены канонических уравнений) в общем случае можно вычислить методом Мора. Для балок и рам это можно сделать при помощи правила Верещагина.

 

Универсальная проверка коэффициентов и свободных членов канонических уравнений

 

Для выполнения универсальной проверки необходимо построить суммарную единичную эпюру — эпюру моментов от одновременного действия всех единичных сил, приложенных к основной системе:

 

Перемножим суммарную единичную эпюру с эпюрой :

 

 

Таким образом результат перемножения суммарной и i-ой единичной эпюр — это перемещение по направлению i-ой связи от совместного действия единичных лишних неизвестных. Это перемещение равно сумме коэффициентов i-го канонического уравнения:

 

 

Такая проверка называется построчной и выполняется для каждого канонического уравнения.
Вместо n построчных проверок чаще всего выполняется одна – универсальная поверка, которая состоит в перемножении суммарной единичной эпюры самой на себя и проверке условия:

 

 

Если универсальная проверка выполняется, значит единичные перемещения вычислены правильно; если нет – необходимо выполнить построчные проверки, что позволит уточнить перемещение, при вычислении которого допущена ошибка.

Для выполнения проверки грузовых перемещений необходимо перемножить суммарную единичную и грузовую эпюры изгибающих моментов:

 

 

Таким образом, проверка свободных членов системы канонических уравнений (4) состоит в выполнении условия:

 

 

Построение окончательных эпюр внутренних силовых факторов

 

Окончательные эпюры можно построить двумя способами.

Так как при найденных значениях лишних неизвестных Xi выполняются условия совместности деформаций, то из расчета основной системы можно получить все искомые внутренние усилия заданной системы. На основании принципа независимости действия сил для изгибающих моментов получим:

 

или, учитывая, что

 

 

приходим к выражению:

 

 

Аналогично определяется продольные и поперечные силы:

 

Второй способ основан на том, что в результате вычисления реакций лишних связей Xi исходная статически неопределимая система приведена к статически определимой системе, загруженной внешними нагрузками и реакциями лишних связей. Поэтому окончательные эпюры внутренних силовых факторов можно построить для эквивалентной системы, вычислив предварительно (и то не всегда) из условий равновесия опорные реакции последней.

Недостатком первого способа является то обстоятельство, что для его реализации необходимо дополнительно построить эпюры Qi, Ni (i=1, 2, …,n), Qf, Nf, которые не используются в расчете методом сил и поэтому не были построены ранее.

В связи с этим для построения окончательных эпюр более рациональным представляется второй способ, а условие (8) можно использовать в качестве дополнительной проверки.

 

Проверка окончательной эпюры изгибающих моментов

 

Эта проверка выполняется в двух вариантах: статическая и кинематическая.

При статической проверке, выполняемой обычно для рам, вырезаются узлы и записываются условия их равновесия под действием узловых сосредоточенных моментов и изгибающих моментов на концах стержней. Эта проверка является вспомогательной и выполняется автоматически при правильных эпюрах изгибающих моментов в основной системе и при выполнении кинематической проверки.

Статическая проверка эпюр Q и N состоит в том, что для любой отсеченной части рамы сумма проекций на две оси всех действующих сил – внешних нагрузок и  внутренних усилий – должна быть равна нулю.

Основной проверкой окончательной эпюры моментов в методе сил является кинематическая проверка, которая может быть построчной или универсальной.<br /> При построчной проверке каждая единичная эпюра моментов перемножается с окончательной эпюрой моментов М:

 

 

Таким образом, в результате перемножения каждой единичной эпюры с окончательной эпюрой моментов получим ноль:

 

Вариантом построчной проверки является проверка по замкнутомуконтуру, состоящая в том, что сумма приведенных (т.е. деленных на жесткость соответствующего стержня или его участка) площадь эпюры М, находящихся внутри каждого замкнутого бесшарнирного контура, должна быть равна сумме приведенных площадей, находящихся снаружи этого контура.

Суммируя выражения типа (11) для всех n, получим выражение, служащее для универсальной кинематической проверки окончательной эпюры изгибающих моментов:

 

 

Формулу (12) можно интерпретировать следующим образом: условное перемещение эквивалентной, или, что то же самое, заданной системы по направлению всех неизвестных от действия всех неизвестных и внешних нагрузок, равно нулю.

 

Определение перемещений в статически неопределимых системах

 

Для определения перемещения в статически неопределимой системе используется тождественность заданной и эквивалентной систем в том смысле, что если условия совместности деформаций выполняются, т.е. справедливы уравнения (4), то перемещения в эквивалентной системе соответствуют перемещениям заданной системы. Тогда, построив для основной системы эпюру изгибающих моментов от единичной силы (или единичного момента) приложенной в направлении искомого перемещения, величину перемещения находим по формуле:

 

 

 

где М – эпюра изгибающих моментов от внешней нагрузки, построенная для статически неопределимой системы.

Отметим, что при вычислении перемещения можно поступить и наоборот: единичную эпюру моментов построить в статически неопределимой заданной системе, а эпюру моментов от внешних нагрузок М – в основной (статически определимой) системе.

 

Пример расчета

 

Построить эпюры продольных, поперечных сил и изгибающих моментов для плоской рамы (рис.3,а).

Степень статической неопределимости рамы:

n = r — s = 4 — 3 = 1

 

Выбираем основную систему, отбрасывая на правой опоре горизонтальный стержень (рис.3,б),  т.е. заменяем шарнирно-неподвижною опору на шарнирно-подвижную. На базе основной системы формируем эквивалентную систему (рис.3,в).

Заменяя реакцию лишней связи соответствующей единичной силой, (рис. 3,г) строим эпюру моментов M1 (рис.3,д).

Грузовая эпюра моментов (рис.3,ж), построенная от одновременного действия всех внешних нагрузок (рис.3,е), является знакопеременной на участке, где действует нагрузка q. Это создает определенные трудности (хотя и не непреодолимые!) при ее перемножении с единичной эпюрой M1. В связи с этим целесообразно построить две грузовых эпюры – отдельно от нагрузки q (эпюра Mq) и от совместного действия F и M (эпюра MF). Эти варианты нагружения и эпюры представлены на рис.3,з и рис.3,а,б,в.

При таком разбиении внешней нагрузки каноническое уравнение метода сил содержит два грузовых перемещения и имеет вид:

 

 

Вычислим коэффициенты канонического уравнения:

 

 

Реакция лишних связи:

 

Эпюры Nz, Qy, Mx для заданной системы, загруженной нагрузками F, M, q и X1 (рис.3,г) представлены на рис.3,д,е,ж.

Как уже говорилось, при построении эпюр Nz и Q в рамах ординаты можно откладывать в любую сторону, но обязательно указывать знаки; а при построении эпюр Mx знаки можно не указывать, но обязательно откладывать ординаты со стороны сжатых волокон соответствующих элементов.

В рассмотренном примере универсальная проверка правильности вычисления коэффициентов канонического уравнения и свободных членов не выполнялась, так как рама имеет степень статической неопределимости n = 1, а, значит, суммарная единичная эпюра (если ее построить) совпадет с единичной эпюрой M1. В этом случае можно (и желательно!) проверить правильность выполнения расчета при помощи универсальной кинематической проверки окончательной эпюры моментов Mx.

Выполним эту проверку для рамы, рассмотренной в последнем примере (рис.3,а). Должно выполняться условие:

 

Покажем отдельно фрагменты перемножаемых эпюр (рис.3,д и рис.4,ж) для ригеля (рис.5,а,б) и стойки (рис.5,в,г) с указанением всех характерных размеров и соответствующих им ординат. Причем стойка (на рис.5,в,г) показана в горизонтальном положении.

Точка пересечения кривой на ригеле эпюры  Mx с осью (рис.5,б) определяется следующим образом. Обозначим координату произвольного сечения, отсчитываемую от правого конца ригеля, через z, тогда момент Mx определяется в виде:

 

 

откуда z = 3,77 м (второй корень этого уравнения лишен физического смысла).

 

рис. 3

 

 

рис. 4

 

 

следовательно, расчет выполнен правильно.

 

 

 

Заказать решение

Построение эпюр Q и M для двухопорной балки

Задача

Для заданной двухопорной балки, нагруженной силой F, моментом M и равномерно распределенной нагрузкой q построить эпюры внутренних поперечных сил Qy и изгибающих моментов Mx.

Решение задачи

Опорные реакции для данной расчетной схемы были определены здесь.

Балка имеет 3 силовых участка. Обозначим их римскими цифрами, например, справа налево.

Для расчета внутренних силовых факторов по участкам балки воспользуемся методом сечений.

Расчет значений

Начнем с первого силового участка (CD).

Проведем поперечное сечение в пределах участка, в любом месте между точками C и D.

Данное сечение делит балку на две части (левую и правую). Для определения внутренних факторов можно выбрать любую из них, но лучше выбирать менее нагруженную часть балки. Очевидно это будет ее правая часть.

Расстояние от правой границы участка до рассматриваемого сечения обозначим переменной z1, которая может принимать значения от 0 до 1,5 метров (т.е. 0 ≤ z≤ 1,5м).

Подробно, весь расчет значений для построения эпюр показан в нашем видеоуроке:

Мысленно отбросим на время всю левую часть балки.

Поперечная сила Q в данном сечении первого участка будет равна сумме всех внешних сил приложенных к рассматриваемой части балки с учетом их знака, т.е.

Здесь сила F записана положительной, т.к. стремится повернуть правую часть балки по ходу часовой стрелки относительно рассматриваемого сечения.

В данном выражении отсутствует переменная z1, что говорит о том, что внутренняя поперечная сила будет одинакова для всех сечений этого участка.

Изгибающий момент M в рассматриваемом сечении определяется как сумма изгибающих моментов от всех внешних нагрузок выбранной части балки.

С учетом правила знаков при изгибе получаем

Здесь сила F записана отрицательной, т.к. стремиться сжать нижние слои балки.

В полученном выражении переменная z1 является плечом момента силы F для данного сечения балки.

Как видно из полученного выражения изгибающий момент по длине участка меняется линейно (т.к. z1 в первой степени), поэтому для построения эпюры на данном участке нам достаточно двух точек.

Этими точками будут значения изгибающего момента на границах I участка, т.е. при z1=0 и при z1=1,5м

На первом участке внутренние усилия определены.

Переходим на второй силовой участок (BC).

Так же начинаем с того, что проводим сечение в любом месте участка и выбираем рассматриваемую часть балки. Здесь также удобнее рассмотреть правую часть балки.

Расстояние до рассматриваемого сечения от правой границы участка обозначим переменной z2. При этом 0 ≤ z≤ 1м.

Запишем выражения и рассчитаем граничные значения внутренней поперечной силы Q

И изгибающего момента M

Здесь опорная реакция RC положительна, потому что сжимает верхний слой, а сила F и распределенная нагрузка q отрицательны, т.к. сжимают нижний слой балки.
Как записывается момент распределенной нагрузки показано здесь.

В выражении для MxII переменная во второй степени, поэтому эпюра моментов на втором участке будет иметь вид параболы.

Как известно, для построения параболы необходимо знать положение минимум трех ее точек. Но как будет показано дальше, в некоторых случаях при построении эпюр, параболы можно вычерчивать всего лишь по двум точкам. Рассчитаем их значения:

Осталось найти внутренние усилия на III силовом участке (AB).

Рассекаем балку между точками A и B. Выбираем менее нагруженную левую часть. 0 ≤ z3 ≤ 2м – интервал возможных положений сечения относительно левой границы участка.

Записываем выражения для Q и M и вычисляем значения в крайних точках

Здесь видно что выражение для QyIII — линейное, а на эпюре Mx на данном участке будет парабола.

По полученным данным строим эпюры.

Построение эпюр

Для построения эпюр рассчитанные значения откладываем от базовой линии на соответствующих участках.

Короткое видео про то, как строить эпюры:

Начинаем с эпюры поперечных сил Q.

На первом участке выражение для Q не зависело от z1 поэтому его значение будет постоянным (QyI=const) по длине участка, т.е. линия эпюры будет параллельна базовой.

На втором участке были получены два значения Q: -58,3 кН при z2=0 и -18,3кН при z2=1м. Переменная z2 откладывалась от правой границы участка, поэтому z2=0 в точке C, соответственно в т. B переменная z2=1м.

Аналогично откладываются значения Q на третьем участке и значения M на эпюре изгибающих моментов.

Точки на II и III участках эпюры Q и на I участке эпюры M соединяются отрезками, так как распределение внутренних сил и моментов там линейное (переменная z в первой степени).

А при соединении точек эпюры M параболами, надо смотреть на эпюру Q.

Дело в том, что эпюра поперечных сил это первая производная эпюры изгибающих моментов. Поэтому в сечениях балки, где Q=0 на эпюре M будет экстремум.

Как видно эпюра Q пересекает нулевую линию только на третьем силовом участке балки. Поэтому, ввиду того что нас интересуют только пиковые значения изгибающих моментов, на втором участке две крайние точки достаточно соединить параболой, не имеющей экстремума, выпуклость которой направлена навстречу распределенной нагрузке.

Для более точного построения линии параболы на данном участке можно найти значения момента для промежуточных положений сечения, например при z2=0,5м.

На третьем участке, в сечении, где Q пересекает базовую линию необходимо рассчитать точку экстремума.

Видео про расчет экстремума эпюры моментов:

Для этого выражение для QyIII приравнивается к нулю и рассчитывается значение z3, при котором изгибающий момент на участке принимает экстремальное значение. Его подставляют в выражение для MxIII

Это значение откладывается на эпюре M под точкой пересечения эпюры Q с базовой линией

после чего три точки соединяются плавной линией.

Эпюры внутренних поперечных сил и изгибающих моментов построены.

Проверка эпюр поперечных сил >
и изгибающих моментов >
Расчеты для подбора сечений балки >
Другие примеры решения задач >

Статически неопределимые системы — Лекции и примеры решения задач технической механики

Статически неопределимыми называют системы, в которых для определения опорных реакций либо внутренних усилий одних только уравнений статики недостаточно.

Статическая неопределимость возникает из-за наличия дополнительных или «лишних» связей.

Здесь под словом «лишние» понимаются дополнительные опоры (связи) добавление которых не влияет на геометрическую неизменяемость системы в целом.

Дополнительные опоры увеличивают прочность и жесткость систем, что позволяет делать их более экономичными.

Степень статической неопределимости систем

Степень статической неопределимости n определяется по формуле:

n=k-m

где,
k – количество неизвестных усилий (реакций связи),
m – количество уравнений равновесия которые можно составить для данной системы.

Системы, для которых n=1 называют однажды статически неопределимыми, n=2 – дважды СН и т.д.

Примеры статически неопределимых систем

В качестве примера рассмотрим следующий случай:

Консольная балка, закрепленная только в жесткой заделке – статически определима, так как в опоре данной схемы могут иметь место не более трех опорных реакций (вертикальная и горизонтальная силы и момент).

Как известно из курса теоретической механики для плоской системы сил можно составить только три уравнения равновесия. Трех уравнений для определения трех неизвестных вполне достаточно.

Теперь, если добавим к рассматриваемой схеме еще одну опору, например шарнирно-подвижную, то балка становится статически неопределимой, так как количество неизвестных связей увеличилось до четырех, а уравнений равновесия по-прежнему можно составить только три.

В данном случае для расчета опорных реакций не хватает еще одного уравнения, т.е. система один раз (однажды) статически неопределима.

Если к данной системе последовательно добавлять опоры, то степень неопределимости также будет возрастать.

В таких случаях для расчета величины и направления неизвестных усилий потребуются дополнительные уравнения.

Другие примеры СНС

Примеры однажды статически неопределимых систем (n=1):

Статически неопределимый стержень

Трехопорная балка

Статически неопределимая стержневая система

Раскрытие статической неопределимости

Расчет усилий в лишних связях называется раскрытием статической неопределимости системы.

Существует несколько способов раскрытия статической неопределимости, принцип которых основан на:

  1. равенстве нулю соответствующих перемещений точек системы на опорах;
  2. зависимости (совместности) деформаций элементов системы.

Наиболее универсальным из них является метод сил.

Примеры решения задач >>

Расчет реакций опор в жесткой заделке консольной балки

Задача

Рассчитать величину и направление опорных реакций в жесткой заделке консольной балки нагруженной заданной системой внешних нагрузок.

Пример решения

Покажем значения нагрузок и продольные размеры балки, обозначим ее характерные сечения буквами A, B и C.

В случае плоского поперечного изгиба в жесткой заделке консольной балки могут иметь место только две опорные реакции:

На данном этапе решения задачи эти реакции можно направить в любую сторону.

Короткое видео о реакциях в заделках:

Определим величину, а заодно и истинное направление опорных реакций.

Зададим систему координат y-z.

Для нахождения двух реакций нам понадобятся два уравнения равновесия.

Балка не перемещается вверх-вниз, поэтому сумма проекций всех сил на ось y должна равняться нулю.

Проецируя все силы на ось y получаем первое уравнение:

∑F(y)=0=-R-q∙1+F

Правило знаков для проекций сил.

Откуда находим величину реакции R

R=-q∙1+F=-100∙1+40=-60кН

Знак «-» в ответе говорит о том, что реальное направление реакции R противоположно выбранному вначале.

Поэтому изменим направление силы и соответственно ее знак на противоположные.

Второе уравнение статики получим из условия, что балка не вращается, так как сумма моментов приложенных к ней тоже равнв нулю.

Запишем уравнение суммы моментов, например, относительно точки A:

∑mA=0=M-m+q∙1∙(0,5+0,5)-F(0,5+1)

Правило знаков для моментов.

Отсюда находим опорный момент M

M=m-q+F∙1,5=70-100+40∙1,5=30кНм

Положительный результат показывает, что выбранное наугад направление момента М оказалось верным, то есть перенаправлять его не нужно.

Полученные значения опорных реакций можно легко проверить.

Для этого запишем уравнение суммы моментов относительно точки B или C:

∑mB=M+R∙0,5-m+q∙1∙0,5-F∙1

и подставив в него полученные значения, мы должны получить сумму равную нулю

∑mB=30+60∙0,5-70+100∙1∙0,5-40∙1=0

Так и есть! Значит опорные реакции определены верно.

Расчет реакций в опорах простой двухопорной балки >
Другие примеры решения задач >

Метод сечений — Лекции и примеры решения задач технической механики

Метод сечений (иногда его называют РОЗУ) — наиболее удобный способ определения внутренних силовых факторов.

РОЗУ — расшифровывается так:

  • Рассекаем (мысленно) брус на две части;
  • Отбрасываем одну из частей;
  • Заменяем ее действие внутренними усилиями;
  • Уравновешиваем рассматриваемую часть определяя величину внутренних силовых факторов.

Данный метод используется при построении эпюр, например внутренних поперечных сил и изгибающих моментов для балки.

Суть метода

Брус рассекается на две части и рассматривается только одна его часть, а воздействие на нее другой части заменяется соответствующими внутренними усилиями, которые определяются из условия равновесия.

Рассмотрим его на примере прямого бруса, к которому приложена произвольная плоская система нагрузок. Отметим, что указанная система нагрузок удерживает брус в неподвижном (статичном) положении.

Обозначим характерные точки бруса:

Эти точки одновременно являются границами силовых участков бруса, т.е. данный брус имеет 5 силовых участков.

Для того чтобы определить внутренние усилия например на участке DK в любом месте участка проведем сечение которое условно делит брус на две части, в данном случае левую и правую:

Зная, что весь брус изначально статичен, можно утверждать, что так же будет статичен любой его фрагмент, включая обе показанные части.

Для определения внутренних усилий можно выбрать любую из них, при этом результаты расчетов будут одинаковы. Поэтому для упрощения вычислений принято выбирать ту часть, к которой приложено меньше нагрузок.

В данном случае к левой части приложено 4 усилия, а к правой всего два.

Здесь выбор правой части бруса снижает вероятность ошибки при расчетах.

Выбрав оптимальную часть бруса, обозначим расстояние от ближайшей границы силового участка до рассматриваемого сечения переменной z.

На данном участке сечение может занимать любое положение между точками K (где z=0) и D (где z равно длине участка DK), включая сами эти точки.

Это записывается как 0≤z≤DK.

Затем для каждого внутреннего силового фактора записываются выражения в виде суммы соответствующих внешних нагрузок приложенных к рассматриваемой части бруса.

Далее рассчитываются их значения на границах силовых участков при z=0 и z=DK.

В случаях, когда переменная z в выражениях имеет степень 2 или выше (т.е. эпюра будет иметь вид параболы) можно рассчитать величину внутренних сил для промежуточных положений сечения, например при z=DK/2.

Указанные действия необходимо проделать по каждому силовому участку.
По полученным данным строятся необходимые эпюры.

Порядок построения эпюр методом сечений:

  1. Определяются опорные реакции,
  2. Определяется количество силовых участков бруса,
  3. В пределах каждого участка брус делится на две части поперечным сечением,
  4. Выбирается часть, к которой приложено меньше нагрузок,
  5. Записываются необходимые выражения для внутренних силовых факторов,
  6. Рассчитываются значения для характерных положений сечения,
  7. Строятся эпюры.

Основные деформации >
Примеры решения задач >

Построение эпюр в рамах — Лекции и примеры решения задач технической механики

Рассмотрим подробно порядок построения эпюр внутренних силовых факторов в раме.

Задача
Построить эпюры внутренних продольных и поперечных усилий и изгибающих моментов для плоской П-образной рамы, нагруженной силой, моментом и распределенной нагрузкой:

Рис. 1

Решение

Рама состоит из трех частей (левая и правая вертикальные стойки соединенные горизонтальным ригелем), но при этом имеет четыре силовых участка – AC, CD, BE и DE, на каждом из которых нам потребуется определить величину и направление внутренних усилий.

Для заданной расчетной схемы рамы ранее мы уже определили опорные реакции.

Рис. 2

Расчет значений

Обозначим силовые участки римскими цифрами.

Рис. 3

Для расчета значений, необходимых для построения эпюр, будем пользоваться методом сечений и соответствующими правилами знаков.

Начинаем с первого силового участка AC.

Мысленно рассекаем его в любом месте между крайними точками участка.

Рис. 4

Это сечение делит раму на две части:

  1. нижнюю часть стойки до точки A
  2. всю остальную часть, включая верхнюю от сечения часть левой стойки, ригель CD и правую стойку BD.

Наш видеоурок построения эпюр внутренних силовых факторов для балки:

Можно рассмотреть любую из них, но для упрощения расчетов рекомендуется выбирать менее нагруженную часть конструкции.

Очевидно, что в данном случае проще рассматривать нижнюю часть стойки.

Расстояние от границы участка до сечения обозначим переменной y1, возможные значения которой находятся в пределах от нуля до длины участка.

Рис. 5

Действие отброшенной части рамы заменим внутренними усилиями NI, QI и MI.

Рис. 6

Рассчитаем их:

В выражении для MI переменная y1 в первой степени, а значит, эпюра на этом участке будет изображаться прямой. Для ее построения необходимы значения в двух точках.
Рассчитаем их на границах участка, в точках A и C:

В записанных выражениях:
NI – по правилу знаков для внутренних продольных сил – отрицательна, т.к. на участке имеет место сжатие;
QI – отрицательна, т.к. стремится повернуть рассматриваемую часть рамы против хода часовой стрелки;
Для изгибающих моментов M будем отмечать то, какие слои они стремятся сжать. В данном случае момент MI сжимает правую сторону стойки.

Расчет значений внутренних силовых факторов для остальных участков рамы выполняется аналогично.

Рис. 7

На втором участке, проведя сечение (рис. 7), выберем для рассмотрения левую часть рамы (левая часть ригеля со стойкой AC).

Рис. 8

Продольную силу NII здесь вызывает горизонтальная реакция HA, которая сжимает ригель.
Поперечную силу QII в сечении дают реакция RA и распределенная нагрузка q.
Изгибающий момент MII создается всеми нагрузками расположенными слева от рассматриваемого сечения.
Опорные реакции RA и HA создают момент силы. Для момента создаваемого силой HAплечо одинаково для любого положения сечения, и равно длине стойки AC, для момента реакции RA плечо переменное (y2).
О том, как рассчитать момент, создаваемый распределенной нагрузкой q можно прочитать здесь.

Записываем выражения:

это уравнение прямой, поэтому рассчитаем значения на границах участка:

Сразу следует обратить внимание, что значения на границах участка имеют противоположные знаки, т.е. эпюра Q на данном участке пересекает базовую (нулевую) линию, следовательно, на эпюре моментов MII в этом сечении будет экстремум (эпюры Q и M дифференциально зависимы).

Запишем выражение для изгибающих моментов:

получили уравнение параболы, для построения которой требуется минимум три точки.

Двумя из них будут граничные значения момента:

Третьей станет значение экстремума эпюры M на участке.

Короткое видео про расчёт экстремума эпюры изгибающих моментов:

Рассчитаем его:
Выражение для QII приравниваем к нулю

откуда находим координату сечения рамы, где Q пересекает базовую линию.

подставляем ее в выражение для MII и находим значение экстремума.

Для третьего участка рамы выбираем нижнюю часть (рис. 7):

Рис. 9

Записываем выражения:

Здесь имеется только продольная сжимающая сила.

На четвертом участке (рис. 7) тоже рассмотрим нижнюю часть стойки

Рис. 10

Граничные значения изгибающего момента

Расчет значений окончен, переходим к графическим построениям.

Построение эпюр

Для горизонтальных и вертикальных участков рамы положительные значения эпюр продольных N и поперечных сил Q будем откладывать соответственно вверх и вправо.

Как строить эпюры по рассчитанным значениям показано в нашем видео:

Эпюра внутренних продольных сил N:
Эпюра внутренних продольных сил N рамы

Рис. 11

Эпюра внутренних поперечных сил Q:
Эпюра внутренних поперечных сил Q рамы

Рис. 12

Эпюра изгибающих моментов M строится на сжатых волокнах рамы:
Эпюра внутренних изгибающих моментов M рамы

Рис. 13

Здесь следует обратить внимание на линию эпюры второго участка.
При расчете значений, граничные моменты получились отрицательными (-20 и -30кНм), т.е. они должны располагаться по одну сторону от базовой линии.
Экстремум момента положителен, следовательно, его следует откладывать по другую сторону базовой линии.

Эпюры внутренних силовых факторов для рамы построены.
Теперь необходимо выполнить их проверку.

Другие примеры решения задач >
Лекции по сопромату >

Механика конструкций: структурный анализ I

Общая цель структурного анализа — понять, как конструкция ведет себя под нагрузками. Это отличается от прочности материалов, потому что нас не интересуют напряжения, а, скорее, силы и деформации. Вот темы, которые я затрону:

  1. Диаграммы сдвига и момента
  2. Статически определяемые балки и рамы
    1. Метод двойного интеграла
    2. Метод площади момента
  3. Статически неопределимые балки и рамы
    1. Силовой метод
    2. Метод наклона / отклонения
    3. Неопределенный сдвиг / момент
  4. Матричный анализ

Диаграммы сдвига и момента (статически определенные)

Я рассмотрел основы в разделе статики на моей веб-странице.Итак, я углублюсь в свой анализ диаграмм сдвига и момента. Я попробую использовать более сложные условия нагружения и представлю петли. Давайте начнем с балки с простой опорой:

  • Балка с простой опорой выше подвергается равномерно распределенной нагрузке от L / 2 до L. Оба конца закреплены штифтами, поэтому момент не может быть ни на одном из концов.
  • Чтобы найти реакции, мы помещаем статически эквивалентную нагрузку посередине, суммируем силы и моменты в одном из мест опоры и вычисляем Ra и Rb.
  • Теперь, когда у нас есть Ra, мы знаем силу сдвига от опоры A к L / 2. При L / 2 мы знаем, что поперечная сила должна изменяться линейно на , поскольку равномерно распределенная нагрузка действует от L / 2 до L. Мы находим наклон сдвига, вычитая Ra из Rb и деля на действующую длину (L / 2).
  • Первая половина диаграммы моментов — это сильный данк. Так же, как равномерно распределенная нагрузка повлияла на правую часть диаграммы сдвига / момента, мы можем использовать ту же концепцию на диаграмме моментов.он увеличивается линейно на от 0 до L / 2 с максимальным значением, эквивалентным площади диаграммы сдвига.
  • Точка перегиба диаграммы моментов (наклон = 0 = плоский) — это место, где поперечная сила = 0. Чтобы найти максимальный момент , прибавьте поперечную силу на L / 2 к площади треугольник сдвига от L / 2 до точки нулевого сдвига (5L / 8), обнаруженной по третьей пуле .
  • Мы знаем, что от 5L / 8 до L момент должен уменьшаться нелинейно (2-я степень).Какая разница, как это выглядит.

Другой пример, разработанный в метрической системе, с добавлением петли . Шарнир — это внутренняя реакция, которая не допускает моментов и может передавать только поперечную силу (суммируя моменты вокруг шарнира = 0, шарниры также учитывают одно дополнительное уравнение).
Вот еще один пример, за исключением того, что консольный конец находится на конце простой опоры и сосредоточенный момент .

В моем последнем примере диаграммы сдвига и момента я посмотрю на кадр.Рама — это конструкция, которая имеет жестко связанных элементов , которые позволяют передавать моменты. Не пугайтесь рамы, она ведет себя так же, как балка, в том смысле, что это серия балок.

  • Пример Frame не является полным, но здесь вы можете получить суть анализа.
    • Решите для опорных реакций
    • Двигайтесь от одного элемента к другому, распределяя момент от конца одной балки до начала прикрепленной балки.
    • Нарисуйте диаграмму сдвига и момента каждой балки, чтобы получить переданные моменты и сдвиги.

Прогибы статически определенных конструкций


Существует множество способов расчета прогибов определенных конструкций. Я выделил метод двойного интегрирования в разделе прочности материалов, а также метод площади моментов. Честно говоря, двойное интегрирование — это самая неприятная вещь, которую нужно выполнить, поскольку нужно постоянно решать константы интегрирования с использованием граничных условий, но чтобы быть внимательным, я приведу еще один пример двойной интеграции:


Хорошо, это было ужасно.

Давайте еще раз посмотрим на мой любимый метод — метод Moment Area. Вот все основы. достаточно уравнений (три + сколько петель присутствует), чтобы решить все внутренние силы и внешние реакции. Статически неопределенная структура — это конструкция, которая имеет больше неизвестных реакций, которые могут быть обнаружены с помощью уравнений статики (суммирование сил и моментов).В неопределенном случае мы должны использовать свойства члена (E, I, L), чтобы найти реакции.

Force Method

Давайте посмотрим на первый и самый простой метод, метод силы . По сути, силовой метод определяет неизвестную реакцию путем вычисления силы, необходимой для восстановления равновесия смещения. Сначала я покажу вам пример:

Итак, это довольно простой и удобный способ вычисления повторяющихся реакций.Однако это становится до смешного утомительным для многих степеней неопределенности. Вот почему у нас есть другие методы. Однако силовой метод является основой для расчета жесткости элементов для более сложных методов расчета конструкций.

Метод отклонения / уклона

Прежде чем я углублюсь в суть метода отклонения уклона, мне нужно объяснить, что такое фиксированный конечный момент. Фиксированный конечный момент (FEM) — это момент, вызванный нагрузкой на балку с закрепленными обоими концами (балка консольная с обоих концов).Причина, по которой МКЭ так важна, заключается в том, что это базовая точка, из которой мы добавляем или вычитаем моменты, чтобы найти фактические конечные моменты (пусть это не сбивает вас с толку, просто используйте уравнения, и это сработает. Теперь, чтобы найти FEM для стержня, просто посмотрите на следующие уравнения и введите те же значения, которые дают вам в задаче:

Метод отклонения наклона является основой для определения жесткости стержня. Любая балка имеет жесткость, основанную на ее длине , момент инерции и модуль упругости.Я не буду вдаваться в вывод, потому что вам, вероятно, все равно. Однако вы должны знать, что элемент может подвергаться концевым поворотам и перемещениям (перпендикулярно главной оси балки), каждое конечное вращение и перемещение связаны с жесткостью стержня, которая сопротивляется нависающей силе. Это то, на чем основан наклон / отклонение. Вот два основных уравнения и процедура анализа любой конструкции (не то, что тета A и тета B — это левое и правое вращение, соответственно):

Вот базовый пример балки, чтобы вы могли начать работу с отклонением наклона Обратите внимание, что K используется вместо коэффициента жесткости (на самом деле не имеет значения, если E и I одинаковы для каждого пролета, они все равно отменяются):

Неопределенные диаграммы сдвига / момента

Сдвиг / диаграммы моментов для неопределенных структур функционируют как , так и как определенные структуры.В большинстве случаев вы знаете конечные усилия для секции балки или рамы. Это не вызовет проблем, вы будете знать внешнюю нагрузку, и с помощью сил стержня вы сможете нарисовать диаграммы. Давайте взглянем на сильно неопределенную балку:

  • Приведенный выше пример представляет собой балку, в которой мы знаем все конечные силы промежуточного пролета. Учитывая, что сила равномерно распределена по длине пролета, мы можем нарисовать приблизительные диаграммы параболического момента для каждой балки.
  • Итак, после того, как вы проанализировали все силы с помощью какого-либо метода структурного анализа, все, что вам нужно сделать, это быть хорошим бухгалтером, чтобы нарисовать диаграммы сдвига и момента.

Матричный анализ

Матричный анализ — это насколько вы можете использовать традиционный структурный анализ, то есть анализировать каждый элемент индивидуально и вычислять все внутренние, внешние или конечные принудительные значения. Следующим уровнем будет анализ конечных элементов , который разбивает анализ элементов матрицы на размер элемента (малого элемента).

Итак, каковы строительные блоки для матричного структурного анализа? Что ж, в конечном итоге мы хотим найти простой способ регистрации жесткости стержня на основе известных значений (E, G, L, A, I, J). Мы также хотим найти способ описать силы элементов (то есть силы, действующие на отдельный элемент) и ввести их в большую матрицу, которая выводит все желаемые смещения или силы.

Вот несколько основных моментов, которые я изложил, чтобы помочь вам получить фундаментальное представление о том, что происходит:

После того, как все элементы жесткости собраны, они затем преобразуются в глобальную систему координат и компилируются в матрицу жесткости конструкции . Матрица жесткости конструкции включает все элементы и может также иметь дополнительные степени свободы, такие как кручение, жесткие длины и т. Д. Матрица жесткости конструкции также может быть сжатой (например, без учета осевых деформаций) или разделенной по запросу пользователя.

Заключение

Я познакомил вас с некоторыми основными концепциями и дал несколько рабочих примеров, которые помогут вам понять прогибы и структурные реакции. Могут быть внесены некоторые дополнения (метод распределения моментов, продолжение матричного анализа и т. Д.), но я надеюсь, что то, что я вам дал, полезно и интересно. Не стесняйтесь писать мне любые вопросы по электронной почте.

.

Решение неопределенных задач механики конструкций с помощью интегрированного силового метода

Страница документации отчета

Report Documentation Page
(c) Форма страницы документации отчета Американского института за 2002 год, утвержденная OMB No.0704-0188 Бремя публичных отчетов для сбора информации оценивается в среднем в 1 час на ответ, включая

Дополнительная информация

Программа НАСА STI … в профиль

ОТЧЕТНАЯ СТРАНИЦА ДОКУМЕНТАЦИИ *

REPORT DOCUMENTATION PAGE *
ОТЧЕТНАЯ ДОКУМЕНТАЦИЯ * Форма Утверждена OMBNo.07040188 Бремя публичной отчетности для этого сбора информации оценивается в среднем в 1 час на ответ, включая время на просмотр инструкций,

Дополнительная информация

Итоговый отчет семинара по телемедицине

Telemedicine Workshop Summary Report
NASA / TM 2012-217364 Сводный отчет семинара по телемедицине Кристина Барстен Менеджер проекта, Исследовательские медицинские возможности Enterprise Advisory Services, Inc. Контракт на биоастронавтику Космического центра имени Джонсона НАСА

Дополнительная информация

АУДИТНОЕ АГЕНТСТВО ЗАЩИТНЫХ ДОГОВОРОВ

DEFENSE CONTRACT AUDIT AGENCY
КОНТРАКТ АУДИТОРСКОГО АГЕНТСТВА Фундаментальные строительные блоки для приемлемой системы бухгалтерского учета, представленные Сью Рейнага, менеджер отделения DCAA в Сан-Диего, 24 августа 2011 г. Отчетная документация, стр.

Дополнительная информация

Управление активами — Приобретение

Asset Management- Acquisitions
Контракты с неограниченной доставкой и неограниченным количеством (IDIQ), используемые для следующих услуг: все, мероприятия и генеральные планы; Анализ землепользования; Исследования в области борьбы с терроризмом, обращения и управления пространством; Посягательство

Дополнительная информация

РАСШИРЕННЫЙ ПРОЕКТ СЕТЕВОЙ БЕЗОПАСНОСТИ

ADVANCED NETWORK SECURITY PROJECT
AFRL-IF-RS-TR-2005-395 Заключительный технический отчет, декабрь 2005 г. ПРОЕКТ РАСШИРЕННОЙ СЕТИ БЕЗОПАСНОСТИ Университет штата Индиана УТВЕРЖДЕН ДЛЯ ПУБЛИЧНОГО ВЫПУСКА; НЕОГРАНИЧЕННОЕ РАСПРОСТРАНЕНИЕ.ИНФОРМАЦИЯ ПО НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОЙ ЛАБОРАТОРИИ ВВС

Дополнительная информация

Штаб ВВС США

Headquarters U.S. Air Force
Штаб-квартира ВВС США Ин т е г р и ц а — С е р в и ц е — Экстренная оценка готовности ВВС (TRA) Процесс для крупных программ оборонных закупок Подполковник Эд Мастерсон г-н

Дополнительная информация

АВСТРАЛИЙСКИЕ ИННОВАЦИИ

AUSTRALIAN INNOVATIONS
АВСТРАЛИЙСКИЕ ИННОВАЦИИ Последние изменения в практике EVM в Австралии Джим Мьюир и Кирсти Маклин Октябрь 1998 г. СТРАНИЦА ДОКУМЕНТАЦИИ ДЛЯ ОТЧЕТА Форма Утверждена OMB No.0704-0188 Публичная отчетность для этой коллекции

Дополнительная информация

ТЕЗИСЫ

NAVAL POSTGRADUATE SCHOOL THESIS
NAVAL POSTGRADUAL SCHOOL MONTEREY, КАЛИФОРНИЯ ЭТО РУКОВОДСТВО ПО ОЦЕНКЕ КОНФИГУРАЦИИ СИСТЕМ ВЫСОКОЙ НАДЕЖНОСТИ Майкл Э. Гросс Март 2004 г.

Дополнительная информация

ОТЧЕТНАЯ СТРАНИЦА ДОКУМЕНТАЦИИ

REPORT DOCUMENTATION PAGE
ОТЧЕТНАЯ СТРАНИЦА ДОКУМЕНТАЦИИ Форма Утверждено OMB NO.0704-0188 Бремя публичной отчетности для этого сбора информации оценивается в среднем в 1 час на ответ, включая время на просмотр инструкций,

Дополнительная информация

ОТЧЕТНАЯ СТРАНИЦА ДОКУМЕНТАЦИИ

REPORT DOCUMENTATION PAGE
ОТЧЕТНАЯ СТРАНИЦА ДОКУМЕНТАЦИИ Форма Утверждено OMB NO. 0704-0188 Бремя публичных отчетов для этого сбора информации оценивается в среднем в 1 час на ответ, включая время на просмотр инструкций,

Дополнительная информация

Планирование миграции программного обеспечения DoD

DoD Software Migration Planning
Планирование миграции программного обеспечения Министерства обороны США Джон Бергей Лиам О Брайен Деннис Смит Август 2001 г. Техническая записка «Инициатива по разработке продуктовой линейки» CMU / SEI-2001-TN-012 Неограниченное распространение с соблюдением авторских прав.

Дополнительная информация

AFRL-RX-WP-TP-2008-4023

AFRL-RX-WP-TP-2008-4023
AFRL-RX-WP-TP-2008-4023 КАК KILLDEER MOUNTAIN MANUFACTURING ОПТИМИЗИРУЕТ ВИДИМОСТЬ АЭРОКОСМИЧЕСКИХ ПОСТАВОК С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ RFID (постпринт) Jeanne Duckett Killdeer Mountain Manufacturing, Inc. Февраль 2008 г. Окончательный вариант

Дополнительная информация

ДАННЫЕ ПУНКТ ОПИСАНИЕ

DATA ITEM DESCRIPTION
ДАННЫЕ ПУНКТ ОПИСАНИЕ Форма Утверждено OMB NO.0704-0188 Бремя публичных отчетов для сбора этой информации оценивается в среднем в 110 часов на ответ, включая время на просмотр инструкций,

Дополнительная информация

ОТЧЕТНАЯ СТРАНИЦА ДОКУМЕНТАЦИИ

REPORT DOCUMENTATION PAGE
# $% &&% _% && # & ‘() * + &&&, — * + &&. ОТЧЕТНАЯ СТРАНИЦА ДОКУМЕНТАЦИИ Форма Утверждено OMB NO. 0704-0188 Бремя публичной отчетности для этого сбора информации оценивается в среднем в 1 час на ответ, включая

Дополнительная информация

Уязвимости программного обеспечения в Java

Software Vulnerabilities in Java
Уязвимости программного обеспечения в Java Фред Лонг Октябрь 2005 г. CERT Неограниченное распространение с соблюдением авторских прав.Техническое примечание CMU / SEI-2005-TN-044 Эта работа спонсируется Министерством обороны США.

Дополнительная информация

Шнепс, Лейла; Колмез, Корали. Математика на суде: как числа используются и злоупотребляют в зале суда. Нью-Йорк, Нью-Йорк, США: Basic Books, 2013. стр. I.

Schneps, Leila; Colmez, Coralie. Math on Trial : How Numbers Get Used and Abused in the Courtroom. New York, NY, USA: Basic Books, 2013. p i.
Нью-Йорк, Нью-Йорк, США: Basic Books, 2013. стр. I. http://site.ebrary.com/lib/mcgill/doc?id=10665296&ppg=2 Нью-Йорк, Нью-Йорк, США: Basic Books, 2013.p ii. http://site.ebrary.com/lib/mcgill/doc?id=10665296&ppg=3 Новый

Дополнительная информация

.