Расчет плоской фермы: Плоские фермы. Способы расчета — Студопедия.Нет

Содержание

Плоские фермы. Способы расчета — Студопедия.Нет

Фермой называется стержневая система, остающаяся геометрически неизменяемой после условной замены ее жестких узлов шарнирными.

Плоские фермы могут воспринимать нагрузку, приложенную только в их плоскости, и закрепляются опорными связями, лежащими в этой же плоскости. Пространственные фермы способны воспринимать нагрузку, действующую в любом направлении. Примером фермы может служить башенная конструкция (кран, опоры высоковольтных передач и т. п.).

Если ферма в целом под действием сил, приложенных к ее узлам, находится в равновесии, то и любой из ее узлов также будет находиться в равновесии, т. е. внешняя нагрузка, действующая на узел, и внутренние усилия в стержнях, сходящихся в данном узле, взаимно уравновешиваются.

Простейшая плоская ферма – треугольная, состоящая из трёх стержней и трёх узлов.

Рассмотрим принципы вычисления внутренних усилий в стержнях плоской фермы. При действии на ферму сосредоточенных сил, приложенных в узлах (шарнирах), в ее прямолинейных стержнях возникают продольные (растягивающие или сжимающие) силы.

Рис. 3.24

Растяжением или сжатием стержней называется такой вид деформации, при которой все внешние нагрузки или их равнодействующие действуют вдоль оси стержня (осевые нагрузки) (рис. 3.24, а).

Для их вычисления используется метод сечения. Мысленно рассечем стержень плоскостью, перпендикулярной к его оси, проведём произвольное сечение z (рис. 3.24, б), и приложим к сечению неизвестную силу , направленную по внешней нормали к сечению.


Равновесие отсеченной части возможно тогда, когда силы, действующие на отсеченную часть, равны друг другу по модулю и направлены в противоположные стороны. Запишем аналитическое условие равновесия для сечения z:

, , .

Следовательно, при растянутом состоянии стержней усилия в отсеченном стержне направлены от узла вдоль стержня – это состояние обычно принимается за положительное. На рис. 3.25  показаны направления усилий и  в стержне АВ, растянутом силами  и .

 

Рис. 3.25

 

При сжатом состоянии стержней усилия направлены от центра стержня к узлам.

При расчете фермы определяют реакции внешних наложенных связей и внутренние усилия в стержнях фермы.

Для расчета внутренних усилий в стержнях используют два способа: способ вырезания узлов и способ Риттера (или способ моментных точек).

 

Способ вырезания узлов. Мысленно вырезают узел фермы: указывают заданные силы, приложенные к этому узлу; действие отброшенной фермы заменяют усилиями в стержнях, присоединенных к этому узлу. Усилия направляют от узла к центрам стержней, т.е. считают их растянутыми, если при расчете получают знак минус – это означает, что стержень сжат. При вырезании узла получают систему сходящихся сил. Для плоской системы сходящихся сил система уравнений равновесия состоит из двух уравнений:

 

 

В связи с этим последовательность вырезания узлов в плоской ферме определяется числом неизвестных усилий, приложенных к этому узлу, – их должно быть не больше двух.



 

Способ Риттера (или способ моментных точек). Ферму мысленно делят сечением на две части и рассматривают равновесие одной из частей: указывают заданные силы, приложенные к этой части; действие отброшенной части фермы заменяют усилиями в стержнях, через которые провели сечение. Усилия направляют от узла к центрам стержней (в сторону к отброшенной части), т. е. считают их растянутыми. Таким способом получаем произвольную плоскую систему сил, равновесие которой определяется системой из трех уравнений, соответственно, сечение следует проводить не более чем через три неизвестных стержня. При составлении уравнений используют уравнения моментов относительно точек, где пересекаются линии действия неизвестных усилий – эти точки называют моментными точками, или точками Риттера.

Содержание контрольных работ для студентов на тему «расчет плоских ферм» дано в приложении (контрольная работа 3, задача 2).

 

Пример 3.6. Рассмотрим плоскую ферму, показанную на рис. 3.26.

Рис. 3.26

 

Дано: P1 = 10 кН; P2 = 21 кН; P3 = 15 кН; L = 2 м.

Требуется:

· вычислить реакции опор от заданной нагрузки;

· проверить правильность полученных результатов;

· вычислить усилия в стержнях фермы способом вырезания узлов;

· проверить правильность полученных результатов методом сплошных сечений;

· проанализировать полученные результаты.

Решение:

Из геометрии задачи вычислим значение косинусов и синусов углов, образованных стержнями в узлах фермы (рис. 3.27):

 

Рис. 3.27

 

Составим систему уравнений равновесия:

 

Решаем эту систему:

 

Проверка:

Получили: RB = 33,5 кН, НA=23,5кН, VA=36 кН.

 

Вычисление усилий в стержнях (способ вырезания узлов).

 Последовательно вырезаем узлы и составляем условия равновесия для системы сходящихся сил: внешних сил и усилий в стержнях, приложенных к этому узлу. 

При аналитическом способе решения считаем все стержни в растянутом состоянии (усилие направляем от узла к центру стержня).

При геометрическом способе показываем верное направление усилий.

 

Узел А (рис. 3.28)

 

а б

Рис. 3.28

 

Система уравнений равновесия:

 

откуда

 

Сделаем графическую проверку, построив замкнутый силовой многоугольник (построение выполняется в масштабе рис. 3.28, б).

 

Узел В (рис. 3.29)

 

а б

Рис. 3.29

 

Система уравнений равновесия:

 

откуда

Сделаем графическую проверку, построив замкнутый силовой многоугольник (рис. 3.29, б)

.

Узел D (рис.3.30)

 

а б

Рис. 3.30

 

Система уравнений равновесия:

 

откуда

Сделаем графическую проверку, построив замкнутый силовой многоугольник (рис. 3.30, б).

 

Узел Е (рис. 3.31)

 

а б

Рис. 3.31

 

Система уравнений равновесия:

 

откуда

 

Сделаем графическую проверку, построив замкнутый силовой многоугольник (рис. 3.31, б).

 

Узел F (рис. 3.32)

 

а б

Рис. 3.32

 

Осталось вычислить S9. Для этого достаточно составить одно уравнение:

откуда

 

Сделаем графическую проверку, построив замкнутый силовой многоугольник (рис. 3.32, б).

Способ Риттера.Проверим правильность расчета усилий в стержнях 4, 5 и 6. Для этого рассекаем ферму сечением, проходящим через эти три стержня, на две части и рассмотрим равновесие правой части фермы
(рис. 3. 33).

 

Рис. 3.33

 

Составим систему уравнений равновесия для произвольной плоской системы сил (уравнения моментов составляем относительно точек Риттера – D и E):

 

здесь ось y не перпендикулярна прямой (DE).

Отсюда

Значения усилий в стержнях, рассчитанные разными способами, совпадают.

Ответ: в (кН)

 

Вывод: стержни 2, 4, 7, 8 растянуты;

стержни 1, 3, 5, 6, 9  сжаты.

 

Расчет статически определимой фермы | ПроСопромат.ру

Статически определимая ферма. Задача. Определить усилия в стержнях фермы второй панели слева и стойки справа от панели, а также срединной стойки аналитическими методами. Дано: d=2м; h=3м; =16м; F=5кН.

Рассмотрим ферму с симметричным загружением.

2018-12-21_15-45-46

Сначала обозначим опоры буквами А и В, нанесем опорные реакции RА и RВ.

Определим реакции из уравнений статики. Поскольку загрузка фермы симметрична, реакции будут равны между собой:

2018-12-21_15-47-19

Если загрузка фермы несимметричная, то реакции определяются как для балки с составлением уравнений равновесияМА=0 (находим RВ), МВ=0 (находим RА), у=0 (проверка).

Теперь обозначим элементы фермы:

«О» — стержни верхнего пояса (ВП),

«U» — стержни нижнего пояса (НП),

«V» — стойки,

«D» — раскосы.

С помощью этих обозначений удобно называть усилия в стержнях, н.р., О4 — усилие в стержне верхнего пояса; D2 – усилие в раскосе и т.д.

Затем обозначим цифрами узлы фермы. Узлы А и В уже обозначены, на остальных расставим цифры слева направо с 1 по 14.

2018-12-21_15-48-05

Согласно заданию, нам предстоит определить усилия в стержнях О2, D1, U2 (стержни второй панели), усилие в стойке V2, а также усилие в срединной стойке V4 . Существуют три аналитических метода определения усилий в стержнях.

  1. Метод моментной точки (метод Риттера),
  2. Метод проекций,
  3. Метод вырезания узлов.

Первые два метода применяется только тогда, когда ферму можно рассечь на две части сечением, проходящим через 3 (три) стержня. Проведем сечение 1-1 во второй панели слева.

2018-12-21_15-48-58

Сеч. 1-1 рассекает ферму на две части и проходит по трем стержням — О2, D1, U2. Рассматривать можно любую часть – правую или левую, неизвестные усилия в стержнях направляем всегда от узла, предполагая в них растяжение.

Рассмотрим левую часть фермы, покажем ее отдельно. Направляем усилия, показываем все нагрузки.

Сечение проходит по трем стержням, значит можно применить метод моментной точки. Моментной точкой для стержня называется точка пересечения двух других стержней, попадающих в сечение.

Определим усилие в стержне О2.

Моментной точкой для О2будет т.14, т.к. именно в ней пересекаются два других стержня, попавших в сечение, — это стержни D1 и U2 .

Составим уравнение моментов относительно т. 14 (рассматриваем левую часть).

2018-12-21_15-51-41

О2мы направили от узла, полагая растяжение, а при вычислении получили знак «-», значит, стержень О2 – сжат.

Далее в скобках будет указывать деформацию стержня – сжат или растянут.

Определяем усилия в стержне U2. Для U моментной точкой будет т.2, т.к. в ней пересекаются два других стержня — О2 и D1.2018-12-21_15-53-44

Теперь определяем моментную точку для D1. Как видно из схемы, такой точки не существует, поскольку усилия О2 и U2 не могут пересекаться, т.к. параллельны. Значит, метод моментной точки неприменим.

Воспользуемся методом проекций. Для этого спроецируем все силы на вертикальную ось У. Для проекции на данную ось раскоса D1 потребуется знать угол α. Определим его.2018-12-21_16-02-11

Определим усилие в правой стойке V2. Через эту стойку можно провести сечение, которое проходило бы по трем стержням. Покажем сечение 2-2, оно проходит через стержни  О3, V2, U2. Рассмотрим левую часть.

2018-12-21_16-02-50

Как видно из схемы, метод моментной точки в данном случае неприменим, применим метод проекций. Спроектируем все силы на ось У.

2018-12-21_16-03-47

Теперь определим усилие в срединной стойке V4. Через эту стойку нельзя провести сечение, чтобы оно делило ферму на две части и проходило бы через три стержня, значит, методы моментной точки и проекций здесь не подходят. Применим метод вырезания узлов. Стойка V4 примыкает к двум узлам – узлу 4 (вверху) и к узлу 11 (внизу). Выбираем узел, в котором наименьшее количество стержней, т.е. узел 11. Вырезаем его и помещаем в координатные оси таким образом, чтобы одно из неизвестных усилий проходило бы по одной из осей (в данном случае V4 направим по оси У). Усилия, как и прежде, направляем от узла, предполагая растяжение.

2018-12-21_16-04-42

Узел 11.

Проецируем усилия на координатные оси

х=0,   —U4+ U5=0,   U4= U5

у=0,    V4=0.

Таким образом, стержень V4 — нулевой.

Нулевым стержнем называется стержень фермы, в которой усилие равно 0.

Правила определения нулевых стержней — смотреть здесь.

Если в симметричной ферме при симметричном загружении требуется определить усилия во всех стержнях, то следует определить усилия любыми методами в одной части фермы, во второй части в симметричных стержнях усилия будут идентичны.

Все усилия в стержнях удобно свести в таблицу (на примере рассматриваемой фермы). В графе «Усилия» следует проставить значения.

2018-12-21_16-09-38

Расчет простой плоской статически определимой фермы

Для фермы требуется определить усилия в  стержнях.Дано: ферма, у которой

2015-01-10 16-14-56 Скриншот экрана

Ферму вычерчиваем в масштабе. Усилия направляем от сечений (или от узла), предполагая растянутыми.

2015-01-10 16-17-19 Скриншот экрана

Решение:

1. Определяем реакции в ферме. Можно изобразить балочную аналогию и найти реакции, как в балке.

2015-01-10 16-19-14 Скриншот экрана

Проверка выполняется, значит, реакции определены верно.

2. Определение усилий в стержнях фермы.

1) 2015-01-10 16-21-58 Скриншот экрана

Стержень принадлежит нижнему поясу, проводим сечение I, находим моментную точку 4 (в ней пересекаются два других стержня в этом сечении), составляем уравнение моментов относительно этой точки левой отсеченной части фермы:

2015-01-10 16-24-55 Скриншот экрана

2) 2015-01-10 16-26-59 Скриншот экрана

Стержень принадлежит верхнему поясу, проводим сечение I, находим моментную точку 10, составляем уравнение моментов относительно этой точки левой отсеченной части фермы:

2015-01-10 16-28-54 Скриншот экрана Знак говорит о том , что стержень сжат.

3)  2015-01-10 16-29-56 Скриншот экрана

Стержень принадлежит нижнему поясу, проводим сечение II, находим моментную точку 10, составляем уравнение моментов относительно этой точки левой отсеченной части фермы: 2015-01-10 16-47-22 Скриншот экрана Знак говорит о том ,что стержень сжат.

где   2015-01-10 16-42-34 Скриншот экрана (плечо искомого усилия ) находим из геометрических соображений или по масштабу.

4) 2015-01-10 16-55-01 Скриншот экрана

Стержень является раскосом, проводим сечение II, находим моментную точку C (крайняя левая точка фермы), составляем уравнение моментов относительно этой точки левой отсеченной части фермы:

2015-01-10 16-58-17 Скриншот экрана (сжат), где  2015-01-10 16-59-34 Скриншот экрана(плечо искомого усилия ) находим из геометрических соображений или по масштабу;

5) 2015-01-10 17-01-58 Скриншот экрана

Стержень является стойкой, проводим сечение III, находим моментную точку C, составляем уравнение моментов  относительно этой точки левой отсеченной части фермы: 2015-01-10 17-10-42 Скриншот экрана (растянут)

6) 2015-01-10 17-11-50 Скриншот экрана Стержень является раскосом, проводим сечение I, применяем способ проекций, т.к. два других разрезанных стержня параллельны, составляем уравнение проекций сил на вертикальную ось  левой отсеченной части фермы: 2015-01-10 17-13-27 Скриншот экрана (сжат)

7)  2015-01-10 17-15-08 Скриншот экрана   

Стержень является стойкой, проводим сечение IV, применяем способ проекций, т.к. два других разрезанных стержня параллельны, составляем уравнение проекций сил на вертикальную ось  правой отсеченной части фермы:

2015-01-10 17-16-35 Скриншот экрана (сжат)

8)  2015-01-10 17-19-10 Скриншот экрана 

Стержень является стойкой, применяем способ вырезания узлов, т.к. два других способа применить невозможно (нельзя разрезать ферму через три стержня), составляем уравнение проекций сил на вертикальную ось для узла 9:

2015-01-10 17-20-40 Скриншот экрана2015-01-10 17-21-35 Скриншот экрана

9)  2015-01-10 17-22-21 Скриншот экрана  

Стержень является стойкой, применяем способ вырезания узлов, составляем уравнение проекций сил на вертикальную ось для узла 6:

2015-01-10 17-23-44 Скриншот экрана2015-01-10 17-24-26 Скриншот экрана (сжат)

10)  2015-01-10 17-25-51 Скриншот экрана 

Стержень является стойкой, применяем способ вырезания узлов, составляем уравнение проекций сил на вертикальную ось для узла 12:

2015-01-10 17-26-53 Скриншот экрана2015-01-10 17-27-28 Скриншот экрана (сжат)

11) 2015-01-10 17-28-22 Скриншот экрана  

Стержень является стойкой, применяем способ вырезания узлов, составляем уравнение проекций сил на  вертикальную ось для узла 3:

2015-01-10 17-30-20 Скриншот экрана

2015-01-10 17-31-25 Скриншот экрана (растянут)

 

 

Пример расчета плоской фермы матричным методом — Студопедия.Нет

Для пояснения алгоритма расчета стержневых систем по методу МКЭ в матричной форме выполним расчет простейшей трехстержневой фермы, показанной на рис.3.52.

 

Рис.3.52. Схема плоской фермы

 

Построим структурную матрицу фермы (рис. 3.52) по ранее приведенной форме:

 

                                        

В построенной матрице:

строки – узлы фермы;

 столбцы – стержни фермы.

Запишем матрицы – столбцы координат узлов фермы:

 

                                

                               

В матрице  цифра 3 обозначает координату узла 3 по оси Х (Х=3), вторая цифра 0 дает значение узла 3 по направлению оси Y (Y=0).

Транспонированная матрица  путем замены строк столбцами при сохранении их нумерации будет иметь вид:

                             

                                                    3-й узел                      

                                                       2-й узел

                                                    1-й узел

 

Матрица проекций длин элементов фермы по формуле (3.51):

                       .

Длины стержней вычисляются по выражению (3.53):

;

;

.

Векторы направляющих косинусов стержней по формуле (3.54):

          ;

         ;

          .

Вектор внешних нагрузок по выражению (3.56):

         .

Для получения из структурной матрицы  матрицы  произведем замену в матрице  значащих элементов 1 на соответствующие векторы направляющих косинусов (если элемент имеет значение (-1), то соответствующие векторы ставить с обратным знаком):


   

                            3-й стержень с заменой 1 на

                          2-й стержень с заменой 1 на

                   1-й стержень с заменой 1 на

 

Для построения матрицы-вектора  из вектора внешних нагрузок  удаляем первые две строки, т.к. узел 1 имеет закрепление (опору) по направлению Х (первая строка) и по направлению Y (вторая строка), а также удаляем строку 6 как закрепление узла 3 по направлению Y. В результате получим матрицу-вектор  следующего вида:

                                           

Для построения матрицы  из матрицы  аналогично построению матрицы-вектора Q удаляем первую, вторую и шестую строки:

 

                                   = .

 

Решение уравнений (3.59) и (3.60) в матричной форме дает следующий результат:

 

                                       ,

 

где N1, N2 и N3 усилия в стержнях 1, 2 и 3 [Tc].

                                   

                         

Программа анализа напряженно-деформированного состояния стержневых систем

Общие сведения

Программа предназначена для анализа напряженно-деформированного состояния стержневых систем [26]. Анализируемые системы могут быть плоскими и объемными, статически определимыми и статически неопределимыми. Принято, что элементы системы соединены в узлах идеальными шарнирами.

В программе принята система координат, изображенная на рис. 3.53.

Рис. 3.53. Система координат, принятая в программе



 

Единицы измерения в программе не ограничиваются, важно правильно их согласовать.

Выполнение программы

Для выполнения программы необходимо запустить исполняемый файл OCKAL.exe, после чего на экране появится окно программы, изображенное на рис. 3.54.

Рис. 3.54. Основное окно программы

 

    Координаты узлов конструкции заносятся в таблицу «Сведения об узлах» (графы «X», «Y», «Z»). Туда же заносятся сведения о приложенной нагрузке (проекции сил на координатные оси для каждого из узлов; графы «Сила X», «Сила Y», «Сила Z») и условия закрепления (присутствие закрепления по координатным осям для каждого из узлов обозначается 1; графы «Опора X», «Опора Y», «Опора Z»).

    В таблицу «Сведения о связи элементов» заносятся номера узлов, образующих каждый из стержней конструкции (графы «Узел 1», «Узел 2»). Также указываются площадь поперечного сечения и модуль упругости каждого из стержней.

    Добавление узлов (стержней) в таблицы «Сведения об узлах» и «Сведения о связи элементов» осуществляется посредством всплывающих меню, вызываемых правой кнопкой мыши, и последующим указанием количества узлов (стержней), которое необходимо добавить в соответствующую таблицу. Аналогично производиться и удаление узлов (стержней).

Отмеченный пункт «Заполнить нулями пустые ячейки» приведет к тому, что значения пустых ячеек при попытке произвести расчет будут автоматически приравнены к нулю. Это может быть удобно при большом количестве нулевых значений, однако возможно возникновение ошибок, связанных с тем, что могут быть упущены из виду ячейки, значения которых не должны быть нулевыми. Во избежание этого можно произвести проверку на предмет наличия не заполненных ячеек. Для этого необходимо отметить пункт «Найти пустые ячейки» и нажать кнопку «Выполнить проверку». Программа проверит внесенные данные и при обнаружении пустой ячейки выдаст сообщение об этом.

Возможно также произвести проверку на повторение номеров узлов, образующих какой-либо стержень. Для этого необходимо отметить пункт «Найти повторы номеров узлов» нажать кнопку «Выполнить проверку». При обнаружении совпадений программа выдаст соответствующее сообщение.

    Изображение конструкции можно увидеть на соответствующей вкладке (рис. 3.55). Способ отображения конструкции выбирается кнопками:

XZ, XZ — проекции конструкции на плоскость XZ; виды, соответственно, спереди (главный) и сзади.

XY, XY — проекции конструкции на плоскость XY; виды, соответственно, снизу и сверху.

YZ, YZ — проекции конструкции на плоскость YZ; виды, соответственно, слева и справа.

D — диметрия. Вращение изображения в этом режиме осуществляется кнопкой.

Рис. 3.55. Вкладка «Изображение конструкции»

 

Чтобы произвести расчет, необходимо выбрать соответствующий пункт в главном меню («Сервис» — «Расчет»), либо воспользоваться «горячей» клавишей F9, либо кнопкой «Р!» панели инструментов.

Результаты расчета находятся на соответствующей вкладке (рис. 3.56). В первом окне выведены на экран длины стержней и смещения (перемещения) узловых точек по направлению координатных осей X, Y и Z. Во втором окне показаны результаты расчета опорных реакций и реакции (усилия) в элементах (стержнях) решетчатой системы. Все эти результаты могут быть сохранены в файл («Файл» — «Сохранить»).

Рис. 3.56. Результаты расчета

Сообщения оператору

Все элементы окон при необходимости снабжены соответствующими подсказками, поясняющими их назначение. Кроме того, существуют сообщения об ошибках и запросы на подтверждение каких-либо действий.

Если при заполнении таблиц пользователь пытается ввести недопустимый символ, то появляется сообщение об этом (рис. 3.57).

 

Рис. 3.57. Сообщения об ошибках

 

 

При появлении такого сообщения необходимо нажать кнопку «ОК» и ввести верные данные.

Если введенных данных недостаточно для выполнения расчета, то появляется сообщение, показанное на рис. 3.58.

Рис. 3.58. Сообщение о недостатке данных

 

В этом случае следует ввести недостающие данные и повторить попытку расчета.

    В случае возникновения ошибок при выполнении программы выдается соответствующее сообщение. Ошибка может быть связана с некорректностью данных либо с иной причиной, которую нужно выяснить и устранить.

    Если файл был изменен, и пользователь пытается выйти из него каким-либо способом, то появляется запрос о необходимости сохранения данных (рис. 3.59).

Рис. 3.59. Запрос на сохранение данных

 

Можно сохранить данные («Да»), не сохранять их («Нет») или закрыть окно сообщения и продолжить работу с программой («Отмена»).

Пример расчета

В качестве примера использования программы рассмотрим анализ напряженно-деформированного состояния плоской и объемной ферм.

Подготовка исходных данных

Для подготовки исходных данных необходимо составить модель системы, для чего реальная конструкция разбивается на конечное число элементов (стержней), каждый из которых образован двумя узловыми точками, после чего определяются координаты этих точек. В каждую точку возможно приложить нагрузку, которая представляется в виде проекций на координатные оси. Всю распределенную нагрузку необходимо привести к узловой.

Также необходимо указать условия закрепления каждой узловой точки (есть закрепление, нет закрепления, — по каждой из осей).

Далее указываются все стержни конструкции с номерами узлов крепления каждого стержня, причем первым указывается узел с меньшим номером а также площадь поперечного сечения и модуль упругости материала каждого из стержней. В первом приближении принимаем площадь стержней 10 см2, модуль упругости — 2100000 кгс/см2.

Расчет стержневых конструкций рассмотрен на примере плоской и объемной ферм.

Расчет плоской фермы

Структура фермы представлена на рис. 3.60, исходные данные — в табл. 3.2 и 3.3 (координаты представлены в метрах, усилия — в кН).

Рис. 3.60. Схема плоской фермы

 

                                                                                           Таблица 3.2

Данные об узлах

X Y Z Сила X Сила Y Сила Z Опора X ОпораY Опора Z
1 0 0 4,5 0 0 0 1 0 1
2 0 0 1,5 0 0 0 0 0 0
3 2 0 0 60 0 0 0 0 0
4 6 0 0 0 0 -20 0 0 0
5 8 0 1,5 0 0 0 0 0 0
6 8 0 4,5 0 0 0 0 0 1
7 4 0 4,5 0 0 0 0 0 0

 

                                        Таблица 3.3

                     Данные о связи элементов

№ стержня Узел 1 Узел 2 Площадь Модуль упругости
1 1 2 10 2100000
2 1 4 10 2100000
3 1 7 10 2100000
4 2 3 10 2100000
5 2 7 10 2100000
6 3 4 10 2100000
7 3 6 10 2100000
8 4 5 10 2100000
9 5 6 10 2100000
10 5 7 10 2100000
11 6 7 10 2100000

 

При расчете с помощью программы получены результаты, приведенные в табл.3.4.

                               

                                              Таблица 3.4

Значения усилий в стержнях

Обозначение стстержня Усилие, кН
12 32.5
14 -6.25
17 65.00
23 27.08
27 -27.08
34 -16.67
36 -27.08
45 -27.08
56 -32.5
57 27.08
67 21.67

 

                                                                                            Таблица 3.5

                                    Значения опорных реакций

Номер узла Реакция по X, кН Реакция по Y, кН
1 60 -28,75
6 0 48,75

 

 

             

 

                                                                                                    Таблица 3.6

                          Значения перемещения узловых точек

Номер узла Смещение по X, м Смещение по Y, м
1 0 0
2 0 -0,97
3 0 0,13
4 0,43 0
5 0,77 0
6 0 0
7 0 -0,35

 

        

Расчет объемной фермы

    Схема фермы представлена на рисунке 3.61, исходные данные — в табл. 3.7 и 3.8 (координаты представлены в метрах, усилия — в кН).

 

Рис. 3.61. Схема объемной фермы

                                                                                                Таблица 3.7

                                        Данные об узлах

X Y Z Сила X Сила Y Сила Z ОпораX ОпораY ОпораZ
1 4 10 3,5 0 0 0 1 1 1
2 0 10 3,5 0 0 0 0 1 1
3 6 10 0 0 0 0 0 1 0
4 4 5 3,5 0 0 0 0 0 0
5 0 5 3,5 0 0 -15 0 0 0
6 6 5 0 0 0 0 0 0 0
7 4 0 3,5 18 24 0 0 0 0
8 0 0 3,5 0 0 0 0 0 0
9 6 0 0 0 0 12 0 0 0

 

                                                                              Таблица 3.8

                  Данные о связи элементов


стержня
Узел 1 Узел 2 Площадь Модуль
уругости
1 1 2 10 2100000
2 1 3 10 2100000
3 1 4 10 2100000
4 2 3 10 2100000
5 2 4 10 2100000
6 2 5 10 2100000
7 3 4 10 2100000
8 3 5 10 2100000
9 3 6 10 2100000
10 4 5 10 2100000
11 4 6 10 2100000
12 4 7 10 2100000
13 5 6 10 2100000
14 5 7 10 2100000
15 5 8 10 2100000
16 6 7 10 2100000
17 6 8 10 2100000
18 6 9 10 2100000
19 7 8 10 2100000
20 7 9 10 2100000
21 8 9 10 2100000

 

При расчете с помощью программы получены следующие результаты.

 

                                             Таблица 3.9

Значения усилий в стержнях

Обозначение стержня Усилие, кН
12 -28,9
13 -20,73
14 -88,28
23 41,68
24 -12,35
25 61,07
34 33,03
35 -51,35
36 17,14
45 7,71
46 -20,73
47 -72,21
56 11,91
57 28,81
58 8,57
67 33,03
68 -14,67
69 0
78 0
79 -20,73
89 11,91

 

                                                                                                     Таблица 3.10

                                 Значения опорных реакций

Номер узла Реакция по X,кН Реакция по Y,кН Реакция по Z,кН
1 18 88.28 18
2 0 -51.43 -21
3 0 -12.86 0

 

МУ расчет плоских ферм

Министерство науки и образования Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования «Ростовский государственный строительный университет»

Утверждено на заседании кафедры теоретической механики 23 ноября 2005 г.

РАСЧЕТ ПЛОСКИХ ФЕРМ

Методические указания и контрольные задания для студентов заочного отделения

Ростов – на – Дону

2006

2

УДК 531.01

Расчет плоских ферм: Методические указания и контрольные задания для студентов заочного отделения.- Ростов–на-Дону: Рост. гос. строит. ун -т, 2006 — 23 с.

Предназначены для студентов заочного отделения всех специальностей. Приводятся различные методы расчета плоских ферм и разбираются решения типовых примеров.

Составители: Т.В.Виленская С.С.Савченкова

Рецензент: npoф. И.Ф.Хрджиянц

Редактор Н.Е.Гладких Темплан 2006 г., поз. 171

Подписано в печать 24.05.06. Формат 60х84/16. Бумага писчая. Ризограф. Уч.-изд. л.. 1,4. Тираж 100 экз. Заказ Редакционно – издательский центр РГСУ

344022, Ростов н/Д, ул. Социалистическая, 162

© Ростовский государственный строительный университет, 2006

3

ВВЕДЕНИЕ

При постройке мостов, подъемных кранов и других сооружений применяются конструкции, называемые фермами.

Фермой называется конструкция, состоящая из стержней, соединённых между собой на концах шарнирами и образующих геометрически неизменяемую систему.

Шарнирные соединения стержней фермы называют её узлами. Если оси всех стержней фермы лежат в одной плоскости, то ферма называется плоской.

Мы будем рассматривать только плоские фермы. Предполагаем, что выполняются следующие условия:

1)все стержни фермы прямолинейные;

2)трение в шарнирах отсутствует;

3)все заданные силы приложены только в узлах фермы;

4)весом стержней можно пренебречь.

В этом случае каждый стержень фермы находится под действием только двух сил, которые будут вызывать его растяжение или сжатие.

Пусть ферма имеет «m» стержней и «n» узлов. Найдём зависимость между m и n, обеспечивающую жесткость конструкции ( рис. 1 ).

Чтобы связать первые три узла, необходимо три стержня, для жесткого присоединения каждого из остальных (n-3) узлов нужно по 2 стержня, то есть

m — 3 = 2-(n-3)

или m = 2n-3. ( 1 )

Если m < 2n — 3, то конструкция не будет геометрически неизменяемой, если m > 2n — 3, ферма будет иметь «лишний» стержень.

Равенство ( 1 ) называется условием жесткости.

Ферма, изображенная на рис. 1 , является жесткой конструкцией

n=8 m= 13

13=8 · 2-3

Рис. 1 Расчёт фермы сводится к определению опорных реакций и усилий в

стержнях, то есть сил, действующих со стороны узлов на примыкающие к нему стержни.

Выясним, при каком соотношении между числом стержней и узлов ферма будет статически определимой. Если все неизвестные силы можно определить из уравнений равновесия, то есть количество независимых уравнений равно числу неизвестных, то конструкция статически определима.

4

Так как на каждый узел фермы действует плоская система сходящихся сил, то всегда можно составить 2n уравнений равновесия. Общее количество неизвестных — m + 3, (где m усилий в стержнях и 3 опорные реакции).

Условие статической определимости фермы m + 3 = 2n

или m = 2n — 3 ( 2 )

Сравнивая ( 2 ) с ( 1 ), видим, что условие статической определимости совпадает с условием жесткости. Следовательно, жёсткая ферма без лишних стержней является статически определимой.

ОПРЕДЕЛЕНИE ОПОРНЫХ РЕАКЦИЙ

Для определения опорных реакций рассматриваем равновесие всей фермы в целом под действием произвольной плоской системы сил. Составляем три уравнения равновесия. После нахождения опорных реакций необходимо сделать проверку.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСИЛИЙ В СТЕРЖНЯХ ФЕРМЫ Усилия в стернях фермы можно определить двумя способами: методом

вырезания узлов и методом сечения (метод Риттера).

Метод вырезания узлов состоит в следующем:

последовательно рассматривается равновесие всех узлов фермы, находящихся под действием внешних сил и реакций перерезанных стержней. К каждому узлу приложена плоская система сходящихся сил, для которой можно составить два уравнения равновесия. Расчёт целесообразно начинать с того узла, где сходятся два стержня. При этом одно уравнение равновесия предпоследнего узла и два уравнения последнего узла являются проверочными.

Метод Риттера состоит в следующем:

ферма, к которой приложены внешние силы, включая реакции опор, рассекается на две части по трём стержням, если это возможно. В число перерезанных стержней должны входить те усилия, которые требуется определить.

Одна из частей фермы отбрасывается. Действие отброшенной части на оставшуюся заменяется неизвестными реакциями.

Рассматривается равновесие оставшейся части. Уравнения равновесия составляются так, чтобы в каждое из них входило только одно неизвестное. Это достигается специальным выбором уравнений: при составлении уравнения моментов моментная точка выбирается там, где пересекаются линии действия двух неизвестных усилий, которые в данный момент не определяются. При составлении уравнения проекций ось проекций выбирается перпендикулярно

5

двум параллельным усилиям.

При составлении уравнений равновесия обоими методами предполагается, что все стержни растянуты. Если результат получается со знаком минус, стержень сжат.

Типовой пример: Определить опорные реакции и усилия в стержнях фермы, если F=20 kH, P=20 kH, α=60°, Q=30 kH.( рис. 2, 3 ).

Определяем опорные реакции, рассматривая равновесие системы в целом ( рис.3 ).

∑X = 0:ХА –F · соs α + Q = 0;

∑Н = 0:YА + YВ – Р – F · sin α = 0;

∑MА = 0:-Q · а – Р · 2а – F · sin α · 3а + F · соs α · а + YВ · 4а = 0.

Решая эти уравнения, находим:

ХА = -20 kH; YА = 9.33 kH; YВ = 28 kH.

Проверим правильность полученных результатов. Для этого составим сумму моментов сил относительно точки С.

∑ МС = ХА · а – YA · а – Р · а – F · sin α · 2а + YВ · 3а = = (-20 – 9.33 – 20 — 20·1.73 + 28 · 3) ·а = 0.

Переходим к определению усилий в стержнях фермы.

Метод вырезания узлов.

Начинаем расчёт с узла А, где сходятся два стержня.

Следует изобразить тот узел, равновесие которого рассматривается (рис.4). Так как мы предполагаем, что все стержни растянуты, реакции стержней направляем от узла ( S1 и S5 ). Тогда усилия в стержнях (реакции

 

 

 

6

шарнира)

будут

направлены

в противоположную сторону.

Для узла А составляем два уравнения равновесия:

∑Х = 0:+ХА + S5 + S1 · cos 45° = 0;

∑Y = 0:YА + S1 · cos 45° = 0.

Получаем: S1 13.2kH;

S5 29.32kH.

Далее рассматриваем равновесие узла С (рис.5). Уравнения равновесия:

∑Х = 0:Q + S2 + S6 · cos 45° — S1 · cos 45°= 0;

∑Y = 0:- S1 · cos 45° — S6 · cos 45° = 0.

При подстановке значения S1 учитываем, что усилие отрицательное.

Получаем: S6 13.2kH;

S2 48.7kH.

Аналогично рассчитываются остальные узлы (рис. 6,7).

∑Х = 0:- S2 – S7 · cos 45° — S3 · cos 45° — F · cos α= 0;

∑Y = 0:- S7 · cos 45° — S3 · cos 45° — F · sin α = 0.

Отсюда: S3 39.6kH;

S7 15.13kH.

∑Х = 0:- S4 – S3 · cos 45° = 0;

Второе уравнение проверочное:

∑Y = +YB + S3 · cos 45° = 28-39.6 · 0.71 =0. S4 = 28.0kH.

7

Для проверки рассмотрим равновесие узла Е.(Рис.8 )

∑Х = — S5 + S4 – S6 · cos 45° + S7 · cos 45° = 0;

∑Y = S6 · cos 45° + S7 · cos 45° — P = 0.

Так как уравнения обратились в тождества, то расчёт сделан верно.

Метод сечения (метод Риттера).

Метод Риттера удобно использовать, если требуется определить усилия не во всех стержнях, и как проверочный, так как он позволяет определить каждое усилие независимо от остальных.

Определим усилия в стержнях 2, 6, 5. Разрезаем ферму на две части по стержням 2, 6, 5. Отбрасываем правую часть и рассматриваем равновесие левой

(рис. 9 )..

Для определения усилия S5 составляем уравнение моментов относительно точки, где пересекаются силы S2 и S6 (точка С).

∑ МС = 0: ХА · а – YA · а + S5 · a = 0;. S5 = 29.32 kH.

Для определения усилия S2 составляем уравнение моментов относительно точки Е:

∑ МЕ = 0:- Q · а – S2 · а – YA · 2а =0; S2 = 48.64kH.

Для определения усилия S6 следует составить уравнение проекций на ось Y:

∑ Y = 0:-S6 · cos 45° + YA = 0; S6 = 13.2kH.

Результаты следует занести в табл. 1.

8

Усилия в стержнях фермы, кН

№ стержня, способ

1

2

3

4

5

6

7

Способ

вырезания

-13,2

-48,7

39,6

28,0

29,32

13,2

15,3

узлов

 

 

 

 

 

 

 

 

Способ Риттера

 

-48,64

 

 

29,32

13,2

 

РАСЧЁТ ФЕРМЫ С ПОМОЩЬЮ ПРИНЦИПА ВОЗМОЖННЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ

Принцип возможных перемещений является основным принципом аналитической механики. Он даёт самые общие методы решения задач статики и позволяет определять каждое неизвестное усилие независимо от всех остальных, составляя для него одно уравнение равновесия.

Принцип возможных перемещений (теорема ЛагранжаОстроградского):

Для равновесия механической системы, подчиненной идеальным, геометрическим и стационарным связям, необходимо и достаточно, чтобы сумма работ активных сил, действующих на систему, была равна нулю на любом возможном перемещении системы:

n

Аk(а) 0 . k 1

Стационарные связи — связи, явно не зависящие от времени.

Идеальные связи — связи, сумма работ реакций которых на любом возможном перемещении системы равна нулю.

Геометрические связи — связи, накладывающие ограничения только на координаты точек системы.

Активные силы — силы, действующие на систему, кроме реакций связи.

Возможные перемещения системы

Возможные перемещения механической системы — бесконечно малые перемещения системы, допускаемые наложенными на неё связями.

Величины возможных перемещений обозначаются символами, например — δ S, δφ, δХ.

Приведём примеры возможных перемещений систем (ограничимся рассмотрением плоских систем):

1. Тело закреплено неподвижным шарниром, позволяющим телу вращаться вокруг оси, проходящей через точку О, перпендикулярно

9

плоскости чертежа (рис. 10).

Возможное перемещение тела — поворот вокруг оси на угол δφ.

2. Тело закреплено двумя подвижными шарнирами

(рис.11).

Эти связи позволяют телу перемещаться поступательно параллельно плоскостям катков.

Возможное перемещение тела — δХ.

3.Тело тоже закреплено двумя подвижными шарнирами (плоскости катков не параллельны).

Эти связи позволяют плоскому телу перемещаться только в плоскости чертежа. Возможное перемещение этого тела будет плоскопараллельным перемещением. А плоскопараллельное перемещение тела можно в данный момент рассматривать как вращательное движение вокруг оси, проходящей через

мгновенный центр скоростей тела (м.ц.с. ) перпендикулярно плоскости чертежа

( рис. 12 )..

Следовательно, чтобы увидеть возможное перемещение данного тела, надо знать, где находится м.ц.с. этого тела. Чтобы построить м.ц.с., нужно знать направления скоростей двух точек тела, провести перпендикуляры к скоростям в этих точках, точка пересечения перпендикуляров и будет м.ц.с. тела. В примере нам известны направления скоростей точек А и В (они параллельны плоскостям катков ). Значит, возможное перемещение этого тела — поворот на угол δφ вокруг оси, проходящей через точку А перпендикулярно плоскости чертежа.

ВЫВОД: Так как в дальнейшем рассматриваются только плоские системы, то чтобы увидеть возможное перемещение системы, состоящей из плоских твёрдых тел, надо для каждого твёрдого тела увидеть или построить

 

 

10

м.ц.с.

Тогда

возможным перемещением каждого твёрдого тела

будет поворот вокруг своего м.ц.с., или тело будет двигаться поступательно, если м.ц.с. отсутствует. Возможные перемещения системы определяются только связями, наложенными на систему, и не зависят от сил, действующих на систему. В случае геометрических и стационарных связей направления возможных перемещений точек системы совпадают с направлениями скоростей этих точек при реальном движении.

Работа силы на возможном перемещении

В рассматриваемых задачах твёрдые тела будут иметь возможность либо двигаться поступательно, либо вращаться вокруг оси, перпендикулярной плоскости чертежа. 3апишем формулы для нахождения возможной работы силы при таких перемещениях тел.

1.Тело движется поступательно.

Тогда каждая точка тела перемещается на r . Следовательно, точка приложения силы F перемещается на r . Тогда A F r .

Частные случаи:

A F r

A F r

A 0.

2.Тело вращается вокруг оси.

Работа силы F находится как элементарная работа силы, приложенной к вращающемуся телу. Тело поворачивается на угол δφ.

Тогда

δА = Мz ( F ) · δφ,

где Мz ( F ) — момент силы F относительно оси вращения тела (в наших задачах ось z перпендикулярна плоскости чертежа и нахождение Мz( F ) сводится к нахождению момента силы F относительно точки пересечения оси с плоскостью ).

δА > 0, если сила создаёт момент, направленный в сторону вращения тела;.

δА < 0 , если сила создаёт момент, направленный в сторону, противоположную вращению тела.

Расчет плоской фермы методом вырезания узлов — Студопедия

Способ вырезания узлов сводится к последовательному рассмотрению условий равновесия сил, сходящихся в каждом из узлов. Для этого в качестве объекта исследования один за другим выбирают все узлы фермы. Для каждого из них составляют расчетную схему сил и уравнения равновесия. Способом вырезания узлов удобно пользоваться, когда нужно найти усилия во всех стержнях фермы.

Пример: к узлам плоской фермы (рис. 4.8) приложены внешние силы: Р1 = 1 кН, Р2 = 5 кН, Р3 = 2 кН, Р4 = 2 кН, Р5 = 3 кН, Р6 = 3 кН. Необходимо определить усилия в стержнях фермы.

Рис. 4.8

Решение:

1. Стержни фермы будем заранее считать растянутыми, тогда положительным усилиям соответствуют растянутые стержни, отрицательным – сжатые. Стержни фермы пронумеруем арабскими цифрами (1, 2, …, 9), узлы – римскими цифрами (I, II,…,VI) (рис. 4.8). В рассматриваемой ферме число узлов У =15, число стержней С =27.

Условие статической определимости фермы:

С = 2·У–3 27 = 2·15-З.

Условие статической определимости выполняется. Ферма статически определима.

2. Отбросим внешние связи и составим уравнения равновесия для всей фермы:

∑Fkх=0; XB + P1 P4 = 0 (1)
∑Fkу=0; NA — P2 P3 P5 P6 + YB = 0 => YB = P2+ P3 + P5 + P6NA (2)
∑mВ(Fk)=0; P1·2·a + P2·5·a + P3·4·a + P4·2·a + P5·2·a + P6·aNA·6·a = 0 (3)

Из уравнения (1) находим: XВ = P4 — P1 = 2-1 = 1 кH.

Из уравнения (3) находим: NA = 8 кH.

Из уравнения (2) YB = 5кH.

Проверка. Составим уравнение равновесия моментов сил относительно точки А:

∑mA(Fk)= YB·6·a + P1·2·aP2·aP3·2·a + P4·2·a — P5·4·a — P6·5·a =



= (5·6 + 1·2 – 2·2 + 2·2 – 3·4 – 3·5 — 5)·a = (36 — 36)·a = 0.

Опорные реакции определены верно.

3. Согласно лемме о «нулевых» стержнях по признаку I усилия в стержнях 26 и 27 равны нулю, поэтому эти стержни следует удалить.
По признаку 2 леммы стойка 14 «нулевая»; усилие в стержне 1 равно нулю по признаку 3. Удалим из схемы фермы все «нулевые» стержни, а силу Р1 как скользящий вектор вдоль линии ее действия и приложим к узлу III.

4. Пронумеруем оставшиеся стержни и проверим «исправленную» ферму на статическую определимость (рис. 4.9).

Рис. 4. 9

Арабскими цифрами обозначены номера стержней, римскими цифрами – номера узлов. Число узлов равно 12, число стержней равно 21. Условие статической определимости запишем в виде: С = 2·У-3 = 2·12-3 = 21. Ферма жесткая, статически определимая.

5. Применим способ вырезания узлов. Составим уравнения равновесия для каждого узла фермы.

Результаты запишем в виде табл. 4.1.


Таблица 4.1

Расчет плоских ферм — Энциклопедия по машиностроению XXL

РАСЧЕТ ПЛОСКИХ ФЕРМ  [c.61]

Расчет плоских ферм  [c.80]

Глава VI. Графическая статика и методы расчета плоских ферм 137  [c.137]

Расчеты плоских ферм и ферменных систем  [c.55]

Графические методы, разработанные к настоящему времени, теряют свои преимущества, когда мы имеем дело с пространственными фермами. Мы вынуждены проводить числовые расчеты ферм. Иногда и для плоских ферм удобнее и проще провести числовой расчет. При этом не возникает никаких трудностей, если употребляются систематические обозначения. В случае пространственной фермы, вычисления обычно сложнее и длиннее. Расчет плоских ферм облегчается, если существует узел, в котором сходятся только два стержня. В случае пространственной фермы удобно начинать расчет с узла, в котором сходятся только три стержня. Среднее число стержней, сходящихся в узле простой пространственной фермы, если условие (14) удовлетворяется, будет  [c.142]










АНАЛИТИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ ПЛОСКИХ ФЕРМ 87  [c.87]

Понятие о ферме. Аналитический расчет плоских ферм.  [c.87]

Графический расчет плоских ферм. Расчет фермы методом вырезания узлов может производиться графически. Для этого сначала путем, изложенным в 33, определяют опорные реакции. Затем, последовательно отсекая от фермы каждый из ее узлов, находят усилия в стержнях, сходящихся в этих узлах, строя соответствующие замкнутые силовые многоугольники. Все построения проводятся в масштабе, который должен быть заранее выбран (см. 33). Расчет начинают с узла, в котором сходятся два стержня (иначе не удастся определить неизвестные усилия).  [c.91]

Опоры представляют собой пространственные системы, нагруженные при эксплуатации силами, действующими в пространстве. Опоры и их элементы в большинстве случаев имеют призматическую форму или форму обелисков с малыми углами наклона граней (и следовательно, поясов) к продольной оси. В таких случаях расчет пространственных конструкций может производиться путем разложения нагрузок на составляющие, действующие в плоскости граней, и сводится к расчету плоских ферм. Усилия в поясах при этом представляют собой алгебраическую сумму совместных усилий в поясах смежных плоских ферм. При расчете элементов опор на кручение крутящий момент также раскладывается на пары сил, действующих в плоскости граней.  [c.166]

РАСЧЕТ ПЛОСКОЙ ФЕРМЫ.  [c.25]

При расчете фермы на прочность необходимо определить реакции в опорах, растягивающие (сжимающие) силы в стержнях и по значениям этих сил напряжения по формуле (3.1). Ограничимся в основном расчетом плоских ферм. Для определения реакций в опорах плоской формы используются уравнения статики — уравнения равновесия, известные из курса теоретической механики. Следует записать три таких уравнения для фермы в целом, выражающих равенство нулю суммы проекций сил на оси выбранной системы координат и моментов сил относительно одной из опор  [c.31]

Пример решения задач на равновесие системы тел (см. 18) дает расчет ферм. Фермой называется жесткая конструкция из прямолинейных стержней, соединенных на концах шарнирами. Если все стержни фермы лежат в одной плоскости, ферму называют плоской. Места соединения стержней фермы называют узлами. Все внешние нагрузки к ферме прикладываются только в узлах. При расчете фермы трением в узлах и весом стержней (по сравнению с внешними нагрузками) пренебрегают или распределяют веса стержней ио узлам. Тогда на каждый из стержней фермы будут действовать две силы, приложенные к его концам, которые при равновесии могут быть направлены только вдоль стержня. Следовательно, можно считать, что стержни фермы работают только на растяжение или на сжатие. Ограничимся рассмотрением жестких плоских ферм без лишних стержней, образованных из треугольников. В таких фер-мах число стержней k и число узлов п связаны соотношением  [c.61]










Хотя в ферме стержни скрепляют неподвижно сваркой или клепкой, при расчетах эти соединении принимают за вращательные пары (шарниры). Для проверки неизменяемости и статической определимости плоской фермы пригодна формула (I). Пассивные связи, появляющиеся вследствие особенностей соотношения размеров и расположения стерж-  [c.21]

Если kстержневой системой и, следовательно, не является фермой (рис. 102, б). В этом случае конструкция получает подвижность, становится механизмом. Если же e>2ra—3, то ферма имеет лишние стержни (рис. 104), удаление которых не нарушает жесткости фермы (рис. 102, б). Такие фермы пригодны для сооружений, так как лишние стержни практически не являются вредными, наоборот, они улучшают прочность фермы. Однако расчет таких ферм не может быть выполнен методами статики твердого тела . Поэтому мы будем рассматривать плоские фермы без лишних стержней, т. е. те, которые точно удовлетворяют условию (1).  [c.143]

Расчет усилий в стержнях плоских ферм. ………….71  [c.117]

Вычисляют интегралы Мора (по участкам в пределах всей системы). В соответствии с указанным, при расчете плоских балок, рам и арок исходят из формулы (13.46), при расчете ферм — из формулы (13.48).  [c.398]

Пример расчета фермы методом перемещений. Рассмотрим плоскую ферму, показанную на рис. 7. Усилия, действующие по концам стержня, связаны с соответствующими перемещениями зависимостью Р1 = —Р2 = ЕА1 )(й- —или  [c.120]

Расчет усилий в плоских фермах при подвижной нагрузке. Для суждения о невыгодном в отношении данного усилия или другой расчетной величины расположении подвижной нагрузки, а также для вычисления производимого любой нагрузкой эффекта применяются линии влияния. Линией влияния называется диаграмма, последовательные ординаты которой дают переменную величину усилия при движении единичного безразмерного груза (Р= ) вдоль загружаемого пояса.  [c.145]

Расчет спаренных плоских ферм [8]  [c.148]

Расчет 143 Фермы плоские с неподвижной нагрузкой—-Расчет усилий 141  [c.561]

Хотя в ферме стержни скрепляются неподвижно сваркой или клепкой, при расчетах эти соединения принимают за вращательные пары (шарниры). Для проверки неизменяемости и статической определимости плоской фермы пригодна формула (1). Пассивные связи, появляющиеся вследствие особенностей соотношения размеров и расположения стержней по типу фиг. 5, в фермах обычно отсутствуют. Опоры ферм, имеющие структуру кинематической пары по фиг. 3, обозначают в схемах как показано для правой опоры фермы на фиг. 7, а.  [c.128]

Все виды встречающихся задач с точки зрения размерности можно разделить на следующие расчет ферм расчет рам расчет плоского напряженного состояния расчет плоского деформированного состояния осесимметричные задачи расчет изгиба плит расчет тонких и толстых оболочек расчет общего случая трехмерного напряженного состояния. Естественно, для каждого вида задач применима общая постановка.  [c.38]

В теоретической механике под фермой понимают жесткую решетчатую конструкцию, состояицую из прямолинейных невесомых стержней, соединенных по концам идеальными (лишенными трения) шарнирами. Места соединения стержней фермы называют узлами. Все активные силы к ферме прикладываются только к узлам. Если оси всех стержней фермы и линий действия всех приложенных к ее узлам сил лежат в одной плоскости, то ферма называется плоской. В нашем курсе будем рассматривать методы расчета только плоских ферм. Так как все заданные силы приложены в узлах фермы и трения в шарнирах нет, то каждый прямолинейный невесомый стержень фермы будет находиться под действием только двух сил, приложенных к его концам. Но при равновесии стержня под действием только двух сил эти силы должны быть равны по модулю и направлены вдоль стержня в противоположные стороны. А это значит, что каждый стержень фермы будет испытывать только сжатие или растяжение.  [c.141]

К одному из узлов плоской фермы приложена сила Р. Определить реакции опор фермы (при помощи теоремы о равновесии трех непараллельных сил), а также усилия во всех ее стержнях способом вырезания узлов. Вес стержней не учитывать. Результаты аналитического расчета проверить для каледого узла путем построения силового многоугольника.  [c.5]

Для сооружения фундамента применена инвентарная опалубка, которая подвешивается к жесткому каркасу ригелей, балок и стоек. Материалом нижней плиты служит бетон марки 200. Она так же, как и наземная часть, выполнена из бло ов, состоящих из плоских ферм, к которым приварена гибкая арматура. Расчет Монолитного фунда.мента был выполнен по условиям института Теп-лоэлектропроект [Л. 23].  [c.218]


Калькулятор объема резервуара

Схема резервуара

:
Горизонтальный цилиндр
с плоской головкой

horizontal cylinder with flat tank heads as a water, oil or gas tank

Использование калькулятора

Оцените общую емкость и заполненные объемы в галлонах и литрах резервуаров, таких как масляные резервуары и резервуары для воды. Предполагает
Внутренние размеры цистерны .

Введите U.S. размеры в футах (ft) или дюймах (дюймах), или метрические размеры в метрах (м) или сантиметрах (см). Результаты представлены в галлонах жидкости США, британских галлонах (Великобритания), кубических футах (ft³), метрических литрах и кубических метрах (м³).

* Фактический объем заполнения может отличаться. Расчет объема резервуара основан на геометрии резервуара, показанной ниже. Эти формы резервуаров рассчитаны на основе точных геометрических твердых форм, таких как цилиндры, круги и сферы. Реальные резервуары для воды и масла могут иметь неправильную геометрическую форму или могут иметь другие характеристики, не учтенные здесь, поэтому эти расчеты следует рассматривать только как приблизительные.

Методы расчета объема резервуаров и объема жидкости внутри резервуара

Приведенные ниже методы дадут вам кубические меры, например футы 3 или м 3 , в зависимости от ваших единиц измерения. Если вы вручную рассчитываете объем заполненного резервуара с помощью этих методов, вы можете преобразовать кубические футы в галлоны и кубические метры в литры, используя нашу
Калькулятор преобразования объема.

Горизонтальный цилиндрический бак

Horizontal Cylinder Tank Schematic

Всего
Объем резервуара цилиндрической формы равен площади А круглого конца, умноженной на длину l.А =
πr 2 где r — радиус, равный 1/2 диаметра или d / 2. Следовательно:

В (бак) = πr 2 л


Рассчитайте заполненный объем горизонтального цилиндрического резервуара, сначала определив площадь A кругового сегмента и умножив ее на длину l.

circular segment

Площадь круглого сегмента, заштрихованная серым цветом, равна A = (1/2) r 2 ( θ — sin θ ), где
θ = 2 * arccos (м / об) и
θ в радианах.Следовательно, V (отрезок) = (1/2) r 2 ( θ — sin θ ) l. Если высота заполнения f меньше 1/2 от d, мы используем сегмент, созданный из высоты заполнения и
V (заполнить) = V (сегмент) . Однако, если высота заполнения f больше 1/2 от d, мы используем сегмент, созданный пустой частью резервуара, и вычитаем его из общего объема, чтобы получить заполненный объем;
V (наполнение) = V (бак) — V (сегмент) .

Вертикальный цилиндрический бак

,Калькулятор

· Торический калькулятор

ТОРИЧЕСКИЙ КАЛЬКУЛЯТОР

ВЫБРАТЬ ОБЪЕКТИВ
ЗАМЕНИТЬ ЛИНЗУ

монофокальных
мультифокальная
РАСШИРЕННАЯ ГЛУБИНА ФОКУСА
РАСШИРЕННЫЙ ДИАПАЗОН ВИДЕНИЯ
  • Калькулятор
  • Предпочтения и поддержка

Вернуться к калькулятору

Имя хирурга Информация для пациентов Дата Возраст пациента

Информация для хирурга и пациента

Ноты…

Имя хирурга

Дата

Информация о пациенте

Возраст пациента

Выбор глаз

OD (справа)

ОС (слева)

K Обозначение

D

мм

кератометрии

Хирургически индуцированный астигматизм (SIA)

D

@ Меридиан (место разреза)

°

Квартира K1

Квартира К1 @ Меридиан

°

Крутой К2

Крутой К2 @ Меридиан

,

A20 Алюминиевая плоская ферменная система Плоская ферменная конструкция Баннерная плоская ферма в продаже

Tech Team является профессиональным производителем сцены фермы уже 11 лет.

Поэтому техническая команда всегда ориентируется на высокое качество и безопасность. До сих пор техническая команда разработала множество ферм сценического оборудования для вашего мероприятия.

Описание продукта

Алюминиевая плоская ферменная система A20 Баннер плоской крыши Баннерная плоская ферма в продаже

Плоская ферма 220, материал 6061-T6, основные трубы Φ32 × 1.5 мм, раскосы Φ10 × 2 мм,

Плоская ферма 290, Материал 6082-T6, основная труба 50 * 2 мм, Beace 25 * 2 мм

Плоская ферма 390, Материал 6082-T6, Основная труба 50 * 3 мм, Bace 25 * 2мм

1. Ферма изготовлена ​​из высокопрочного алюминия. материал: 6061-Т6.

2. Красивый внешний вид и долговечность.

3. Соберите точное позиционирование, просто.

4. Подходит для всех видов выступлений в помещении и на открытом воздухе.

5.Мы можем изготовить размер по вашему требованию.

6. иметь сертификацию CE / TUV

7. Умеренная цена.

Если вопросы и хорошие идеи, добро пожаловать, свяжитесь с Мерри. Мой wechat / whatsapp: +86 15818091924

Сертификаты

Информация о компании

Techteam, расположенная в Шунде, город Фошань, Гуандун.Бренд Tech Truss в короткие сроки завоевал одобрение клиентов. От декоративной фермы 100 мм до усиленной фермы 1500 мм. Более того, наша линейка продуктов продолжает расширяться в области ферм, , таких как системы сценических башен, и относящиеся к продукции играют свою роль во всем мире.

У нас есть выдающаяся команда, превосходная система управления, драгоценная сварочная платформа, а также другое технологическое оборудование. Создание и улучшение глобальной сети распространения — это та же маркетинговая стратегия.Мы обеспечиваем профессиональный дизайн и производство, разумные цены, высокое качество продукции и своевременные сроки поставки для клиента.

Кроме того, наша техническая команда также активно сотрудничала с сервисом послепродажного отслеживания продуктов для

, например, улучшением, обновлением и дизайном продуктов, анализом улиц и расчетами, техническим руководством по проекту установки и т. Д. Мы фокусируемся на предложении лучшее послепродажное обслуживание для клиентов.

Наша компания

Шаг нашего производственного процесса

1.Покупка материалов —- 2. Текстовые сообщения —- 3. Режущий материал —- 4. Токарная обработка с ЧПУ 5. Фрезерование и сверление —- 6. Сварка —- 7. Производство текстовых сообщений ——— 8. Готовая упаковка

————————————— ГОРЯЧИЕ ПРОДАЖИ — ——————————-

FAQ

(1) Q: Какой у вас условия оплаты?

Веселый : Наша оплата — T / T, 30% депозита и 70% баланса, оплаченного beford отгрузки.Также можно Western Union и Paypal.

(2) В: Каковы ваши торговые условия?

Веселый : Наши торговые условия — франко-завод, но если вы хотите FOB / CFR / CIF или другое, все в порядке.

(2) В: Можете ли вы принять дизайн клиентов?

Веселая : Конечно! В нашей компании профессиональные дизайнеры могут вам помочь.

(3) В: Как я могу посетить вашу компанию?

Веселый : Вы можете сесть на метро к югу от станции Гуанчжоу, и мы встретим вас в нашей компании.Всего в часе езды от аэропорта Байюнь до нашей компании. Добро пожаловать в нашу компанию.

(4) В: Почему вы выбираете продукцию нашей компании?

Веселый : Поскольку наша компания занимается производством фермы и подиума более 8 лет. Вся наша продукция отличается высоким качеством, конкурентоспособной ценой, хорошей конструкцией, и мы предлагаем вам лучшее послепродажное обслуживание.

Контактная информация

Контактное лицо: Merry Lam

Мобильный телефон: +86 15818091924

Wechat: +86 15818091924

WhatsApp2 9: +86 Адрес завода: No.4-5 Xingye 3 road Guanglong Industrial Park, Chencun Town Shunde Foshan City, Гуандун, Китай.

Мой WeChat ID, пожалуйста, отсканируйте.

,Калькулятор соотношения

Укажите любые три значения ниже, чтобы вычислить четвертое в соотношении A: B = C: D .

Калькулятор масштабирования отношения

Связано: Калькулятор дробей

Что такое соотношение?

Отношение — это количественное соотношение между двумя числами, которое описывает, сколько раз одно значение может содержать другое. Коэффициенты применяются повсеместно, а концепция коэффициентов интуитивно понятна. Вероятно, это можно продемонстрировать, если дать ребенку вдвое меньше печенья, чем его сестре.Хотя ребенок, возможно, не сможет озвучить несправедливость, используя коэффициенты, хриплые протесты, которые, скорее всего, последуют, должны сразу сделать очевидным, что он хорошо осведомлен о том, что получил в соотношении 1: 2 столько печенья, сколько его сестра, концептуально, если не математически. ,

Как показано выше, отношения часто выражаются двумя числами, разделенными двоеточием. Их также можно записать как «от 1 до 2» или как дробь ½. Отношение представляет собой число, которое необходимо умножить на знаменатель, чтобы получить числитель.В этом случае ½. Это нагляднее, если первое число больше второго, т.е. при соотношении 2: 1, 2 может содержать 1, 2 раза. Также возможно иметь отношения, содержащие более двух членов.

Соотношения распространены во многих повседневных приложениях, включая: соотношения сторон экранов, описание карт и моделей как уменьшенную версию их фактического размера, при выпечке и приготовлении пищи, при обсуждении вероятности того, что что-то произойдет, или для описания показателей, например, в финансирование. Если, например, человек хотел испечь 5 пирожных, для каждого из которых требовалось соотношение масла: сахара: муки 1: 2: 3, и хотел определить общее необходимое количество масла, сахара и муки, он было бы просто вычислить с учетом этого отношения.Увеличение соотношения в пять раз дает соотношение 5:10:15, и его можно умножить на любое количество сахара, муки и масла, которое используется в фактическом рецепте торта.

Типичные форматы и размеры экранов и видео

Соотношение сторон — это соотношение размеров геометрической фигуры в разных измерениях. В случае прямоугольника соотношение сторон — это соотношение его ширины к его высоте. Хотя соотношения сторон широко используются в таких приложениях, как калибровка шин, размер бумаги и стандартные размеры фотографий, некоторые из наиболее частых применений соотношений сторон связаны с размерами экрана компьютера, экранами мобильных телефонов и размерами видео.Таким образом, ниже приведен список типичных разрешений экрана / видео и соотношений сторон экрана компьютера.

9 0026 XGA +
Имя Соотношение сторон Ширина (пиксель) Высота (пиксель)
480p 3: 2720 480
576p 5: 4 720 576
720p 16: 9 1280 720
1080p 16: 9 1920 1080
2160p (4K UHD) 16: 9 3840 2160
4320p (8K UHD) 16: 9 7680 4320
8640p 16: 9 15360 8640
SVGA 4: 3800600
WSVGA ~ 17: 10 1024600
XGA 4: 3 1024 768
4: 3 1152 864
WXGA 16: 9 1280 720
WXGA 5: 3 1280 768
WXGA 16:10 1280 800
SXGA (UVGA) 4: 3 1280 960
SXGA 5: 4 1280 1024
HD ~ 16: 9 1360 768
HD ~ 16: 9 1366 768
SXGA + 4: 3 1400 1050
WXGA + 16:10 1440 900
HD + 16: 9 1600 900
UXGA 4: 3 1600 12 00
WSXGA + 16:10 1680 1050
FHD 16: 9 1920 1080
WUXGA 16:10 1920 1200
QWXGA 16: 9 2048 1152
WQHD 16: 9 2560 1440
WQXGA 16:10 2560 1600

,